Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(M^2=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}+\frac{2xy}{\sqrt{yz}}+\frac{2yz}{\sqrt{zx}}+\frac{2xz}{\sqrt{yz}}=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}+\frac{2x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+\frac{2y\sqrt{z}}{\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{x}}{\sqrt{y}}\)
Áp dụng bđt Cô-si: \(\frac{x^2}{y}+\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+z\ge4\sqrt[4]{\frac{x^2}{y}.\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}.\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}.z}=4x\)
tương tự \(\frac{y^2}{z}+\frac{y\sqrt{z}}{\sqrt{x}}+\frac{y\sqrt{z}}{\sqrt{x}}+x\ge4y\);\(\frac{z^2}{x}+\frac{z\sqrt{x}}{\sqrt{y}}+\frac{z\sqrt{x}}{\sqrt{y}}+y\ge4z\)
=>\(M^2+x+y+z\ge4\left(x+y+z\right)\Rightarrow M^2\ge3\left(x+y+z\right)\ge3.12=36\Rightarrow M\ge6\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=4
Vậy minM=6 khi x=y=z=4
Ta có:
\(x\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+y\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)+z\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=-2\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}=-2\)
\(\Leftrightarrow x^2z+x^2y+y^2x+y^2z+z^2x+z^2y+2xyz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-y\\y=-z\\z=-x\end{cases}}\)
Với \(x=-y\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3=1\)
\(\Rightarrow z=1\)
\(\Rightarrow P=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x}+\frac{1}{-x}+\frac{1}{1}=1\)
Tương tự cho các trường hợp còn lại.
Ta có \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{2}{xyz}\left(x+y+z\right)=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{xyz}=4\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2\)(vì \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>0\))
Mặt khác, ta có : \(\frac{1}{x+y+z}=2\) .
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\left(\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y+z}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}+\frac{x+y}{z\left(x+y+z\right)}=0\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{z\left(x+y+z\right)}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz\left(x+y+z\right)}=0\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)
=> x+y = 0 hoặc y + z = 0 hoặc z + x = 0
Từ đó suy ra P = 0 (lí do vì x,y,z là các số mũ lẻ)
\(\frac{x2}{y+z}+x=\frac{x^2+x\left(y+z\right)}{y+z}=\frac{x\left(x+y+z\right)}{y+z}\)
Tương tự ta có:
\(\frac{y^2}{x+z}+y=\frac{y\left(x+y+z\right)}{x+z};\frac{z^2}{x+y}+z=\frac{z\left(x+y+z\right)}{x+y}\)
Cộng vế theo vế ta có:
\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}+x+y+z=\left(x+y+z\right)\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}+2020=2020\)
E ms bt bài này thôi ạ
tim x,y,z biet
\(\frac{x+y+2019}{z}\)=\(\frac{y+z-2020}{x}\)=\(\frac{z+x+1}{y}\)=\(\frac{2}{x+y+z}\)
Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau:
\(\frac{x+y+2019}{z}=\frac{y+z-2020}{x}=\frac{z+x+1}{y}=\frac{2}{x+y+z}\)
\(=\frac{x+y+2019+y+z-2020+z+x+1}{z+x+y}=2\)
\(\Rightarrow x+y+z=1\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y=1-z\\y+z=1-x\\x+z=1-y\end{cases}}\)
Thay vào đầu bài:
\(\frac{1-z+2019}{z}=\frac{1-x-2020}{x}=\frac{1-y+1}{y}\)
\(\Leftrightarrow\frac{2020-z}{z}=\frac{-2019-x}{x}=\frac{2-y}{y}\)
\(\Leftrightarrow\frac{2020}{z}=\frac{-2019}{x}=\frac{2}{y}=\frac{2020-2019+2}{x+y+z}=3\)(Theo t/c dãy tỉ số bằng nhau)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}z=\frac{2020}{3}\\x=\frac{-2019}{3}\\y=\frac{2}{3}\end{cases}}\)
ĐK: x , y, z, x+y+z khác 0
Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau: ( kiến thức trong SGK lớp 7 em tìm hiểu lại nhé! )
\(\frac{x+y+2019}{z}=\frac{y+z-2020}{x}=\frac{z+x+1}{y}=\frac{x+y+2019+y+z-2020+z+x+1}{x+y+z}\)
\(=\frac{2x+2y+2z}{x+y+z}=2\)
=> \(\frac{2}{x+y+z}=2\Leftrightarrow x+y+z=1\) (1)
\(\frac{x+y+2019}{z}=2\Leftrightarrow x+y+2019=2z\)(2)
\(\frac{y+z-2020}{x}=2\Leftrightarrow y+z-2020=2x\) (3)
\(\frac{z+x+1}{y}=2\Leftrightarrow z+x+1=2y\) (4)
Từ (1) <=> x + y = 1 - z ; y +z =1 - x ; z + x = 1 -y . Lần lượt thế vào (2) ; (3) ; (4) để tìm x, y, z
\(\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\right)\left(x+y+z_{ }\right)=x+y+z\)+z
\(\frac{x^2}{y+z}+x+\frac{y^2}{x+z}+y+\frac{z^2}{x+y}+z=x+y+z\)
suy ra S=0