Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Sửa: p > 3
G/s không có ba chữ số nào giống nhau trong 20 số đó.
Vì các số chỉ có thể từ 0 -> 9 nên mỗi chữ số xuất hiện 2 lần
Khi đó tổng các chữ số là: 2(0 + 1 + ... + 9) = 2.45 = 90 chia hết cho 3
===> p chia hết cho 3 (vô lí)
Vậy ta có đpcm
Lời giải:
Phản chứng. Giả sử không tồn tại 3 chữ số nào trong $p^n$ giống nhau.
Đặt \(p^n=\overline{a_1a_2...a_{20}}\)
Vì \(0\leq a_1,a_2,...,a_{20}\leq 9\) nên theo nguyên lý Dirichlet tồn tại ít nhất \(\left[ \frac{20}{10}\right]=2\) số giống nhau.
Kết hợp với điều đã giả sử suy ra $p^n$ là một số gồm $20$ chữ số, trong đó luôn có đôi một hai số bằng nhau và bằng các số trải từ $0$ đến $9$
Khi đó: \(S(p^n)=2(0+1+2+..+9)=90\vdots 3\) trong đó \(S(p^n)\) là tổng các chữ số của $p^n$
Vì \(S(p^n)\vdots 3\Rightarrow p^n\vdots 3\). Điều này hoàn toàn vô lý do \(p>3, p\in\mathbb{P}\)
Do đó giả sử sai. Tức là tồn tại ít nhất 3 số trong 20 chữ số của $p^n$ giống nhau.
Giả sử trong 20 chữ số ko có 3 chữ số nào giống nhau
Mà các chữ số chạy từ 0-9
Suy ra ít nhất 1 chữ số xuất hiện 2 lần
\(\Rightarrow\)tổng các chữ số là \(2\left(0+1+2+3+...+8+9\right)=90⋮3\)
suy ra p ko là số ng/tố lớn hơn 3 (mâu thuẫn)
Vậy ĐPCM lun đúng
Đặt A = n^6 + n^4 – 2n^2 = n^2 (n^4 + n^2 – 2)
= n^2 (n^4 – 1 + n^2 – 1)
= n^2 [(n^2 – 1)(n^2 + 1) + n^2 – 1]
= n^2 (n^2 – 1)(n^2 + 2)
= n.n.(n – 1)(n + 1)(n^2 + 2)
+ Nếu n chẳn ta có n = 2k (k thuộc N)
A = 4k^2 (2k – 1)(2k + 1)(4k^2 + 2) = 8k^2 (2k – 1)(2k + 1)(2k^2 + 1)
Suy ra A chia hết cho 8
+ Nếu n lẻ ta có n = 2k + 1 (k thuộc N)
A = (2k + 1)^2 . 2k (2k + 2)(4k^2 + 4k + 1 + 2)
= 4k(k + 1)(2k + 1)^2 (4k^2 + 4k + 3)
k(k + 1) chia hết cho 2 vì là tích hai số liên tiếp
Suy ra A chia hết cho 8
Do đó A chia hết cho 8 với mọi n thuộc N
* Nếu n chia hết cho 3 thì A chia hết cho 9. Nên A chia hết cho 72.
* Nếu n không chia hết cho 3 thì n^2 là số chính phương nên chia 3 dư 1 (vì số chính phương chia 3 chỉ dư 0 hoặc 1).
Suy ra n^2 + 2 chia hết cho 3. Mà n (n – 1)(n + 1) là tích 3 số liên tiếp nên có số chia hết cho 3. Suy ra A chia hết cho 9. Do đó A chia hết cho 72.
Vậy A chia hết cho 72 với mọi n thuộc N.
\(2.\) Tính chất: Trong \(n\) số nguyên liên tiếp có một và chỉ một số chia hết cho \(n\)
Giả sử \(n,\) \(n+1,...,\) \(n+1899\) là dãy \(1900\) số tự nhiên liên tiếp \(\left(1\right)\)
Xét \(1000\) số tự nhiên liên tiếp từ \(n,\) \(n+1,...,\) \(n+999\) \(\left(2\right)\) thuộc dãy số \(\left(1\right)\)
Theo tính chất trên, sẽ có một số chia hết cho \(1000\)
Giả sử số đó là \(n_0\), khi đó \(n_0\) có tận cùng là \(3\) chữ số \(0\) và \(m\) là tổng các chữ số của \(n_0\)
Khi đó, ta xét \(27\) số tự nhiên gồm:
\(n_0,\) \(n_0+9,\) \(n_0+19,\) \(n_0+29,\) \(n_0+39,...,\) \(n_0+99,\) \(n_0+199,...,\) \(n_0+899\) \(\left(3\right)\)
Sẽ có tổng các chữ số gồm \(27\) số tự nhiên liên tiếp là \(m,\) \(m+1,\) \(m+2,...,\) \(m+26\)
Do đó, có \(1\) số chia hết cho \(27\)
Vậy, trong \(1900\) số tự nhiên liên tiếp có \(1\) số có tổng các chữ số chia hết cho \(27\)