Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
2 vế bằng nhau
100-(1+1/2+1/3+...+1/100) = 1/2+2/3+3/4+...+99/100
100- 1-1/2-1/3-...-1/100 = 1/2+2/3+3/4+...+99/100
100 = 1 + 1/2 + 1/2 + 1/3 + 2/3 + ... + 1/100 + 99/100 (cùng cộng 2 vế với (- 1-1/2-1/3-...-1/100)
100 = 1 + 1 + 1 + ... + 1 (100 số hạng)
100 = 100
Vậy 100-(1+1/2+1/3+...+1/100) = 1/2+2/3+3/4+...+99/100
A = \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}\)
A < \(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{99.100}\)
A < \(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)
A < 1 - \(\frac{1.}{100}\)
A < \(\frac{99}{100}< \frac{199}{100}\)
=> A < \(\frac{199}{100}\)
b,
S = \(\frac{3}{2^2}.\frac{8}{3^2}.\frac{15}{4^2}...\frac{99}{10^2}\)
S = \(\frac{1.3}{2.2}.\frac{2.4}{3.3}.\frac{3.5}{4.4}...\frac{9.11}{10.10}\)
S = \(\frac{1.3.2.4.3.5.4.6.5.7...9.11}{2.2.3.3.4.4...10.10}\)
S = \(\frac{1.2.3^2.4^2.5^2...9^2.10.11}{2^2.3^3.4^2...10^2}\)
S = \(\frac{1.11}{2.10}\)
S = \(\frac{11}{20}\)
Nhận xét: mẫu số của mỗi phân số thuộc số bị trừ trong phép tính trên là số thứ tự của phân số đó trong dãy trên.
Từ đó, ta biết được rằng dãy trên ( số bị trừ có 100 phân số )
\(100-\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{100}\right)=\left(1+1+1+...+1\right)-\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{100}\right)\)
( Tách 100 thành 100 số 1 )
\(=\left(1-1\right)+\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(1-\frac{1}{3}\right)+...+\left(1-\frac{1}{100}\right)\)
\(=\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}...+\frac{99}{100}\left(đpcm\right).\)