Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\Delta'=\left(m-1\right)^2-m+3=m^2-3m+4=\left(m-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{7}{4}>0;\forall m\)
\(\Rightarrow\) Phương trình luôn có 2 nghiệm pb với mọi m
Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=m-3\end{matrix}\right.\)
\(A=2\left(x_1^2+x_2^2\right)-5x_1x_2=2\left(x_1+x_2\right)^2-9x_1x_2\)
\(=8\left(m-1\right)^2-9\left(m-3\right)\)
\(=8m^2-25m+35=8\left(m-\frac{25}{16}\right)^2+\frac{495}{32}\ge\frac{495}{32}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(m=\frac{16}{25}\)
\(A=27\Leftrightarrow8m^2-25m+35=27\)
\(\Leftrightarrow8m^2-25m+8=0\Rightarrow m=\frac{25\pm3\sqrt{41}}{16}\)
Để pt có nghiệm này bằng nghiệm kia \(\Leftrightarrow\) pt có nghiệm kép
\(\Leftrightarrow\Delta'=m^2-3m+4=0\Rightarrow\) ko tồn tại m thỏa mãn
Bài 1:
Ta viết lại phương trình: \(3x^2+5x+(m-2)=0\)
Để pt có hai nghiệm (không nhất thiết phân biệt) thì:
\(\Delta=25-12(m-2)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow m\leq \frac{49}{12}\)
Khi đó, áp dụng định lý Viete của pt bậc 2: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=-\frac{5}{3}\\ x_1x_2=\frac{m-2}{3}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{1}{3}x_2+x_2=\frac{-5}{3}\\ \frac{1}{3}x_2^2=\frac{m-2}{3}\end{matrix}\right.\) (thay \(x_1=\frac{1}{3}x_2\) )
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_2=\frac{-5}{4}\\ \frac{1}{3}x_2^2=\frac{m-2}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow \frac{m-2}{3}=\frac{1}{3}\left(\frac{-5}{4}\right)^2=\frac{25}{48}\)
\(\Leftrightarrow m=\frac{57}{16}\) (thỏa mãn)
Vậy \(m=\frac{57}{16}\)
a) Phương trình \(x^2-2mx-2m-1=0\)có các hệ số a = 1; b = - 2m; c = - 2m - 1
\(\Delta=\left(-2m\right)^2-4\left(-2m-1\right)=4m^2+8m+4=4\left(m+1\right)^2\ge0\forall m\)
Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm x1, x2 với mọi m (đpcm)
b) Theo Viète, ta có: \(x_1+x_2=2m;x_1x_2=-2m-1\)
Hệ thức \(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{-5}{2}\Leftrightarrow2\left(x_1^2+x_2^2\right)=-5x_1x_2\)
\(\Leftrightarrow2\left[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right]=-5x_1x_2\)hay \(2\left(4m^2+4m+2\right)=10m+5\Leftrightarrow8m^2-2m-1=0\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m=\frac{1}{2}\\m=-\frac{1}{4}\end{cases}}\)
Vậy \(m=\frac{1}{2}\)hoặc \(m=-\frac{1}{4}\)thì phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn\(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{-5}{2}\)
\(\Delta'=m^2-2m+1=\left(m-1\right)^2\ge0;\forall m\)
\(\Rightarrow\) Phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m
Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=2m-1\end{matrix}\right.\)
\(A=2\left(x_1+x_2\right)^2-9x_1x_2\)
\(=8m^2-9\left(2m-1\right)=8m^2-18m+9\)
\(=8\left(m-\frac{9}{8}\right)^2-\frac{9}{8}\ge-\frac{9}{8}\)
\(A_{min}=-\frac{9}{8}\) khi \(m=\frac{9}{8}\)
\(A=27\Leftrightarrow8m^2-18m+9=27\)
\(\Leftrightarrow8m^2-18m-18=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=3\\m=-\frac{3}{4}\end{matrix}\right.\)
Để pt có nghiệm này bằng nghiệm kia \(\Leftrightarrow\Delta'=0\)
\(\Rightarrow\left(m-1\right)^2=0\Rightarrow m=1\)