Question

[NTT]

Cho phương trình: \(x^2-\left(2m+1\right)x+2m-4=0\)

a) Tìm m để \(\left|x_1\right|+\left|x_2\right|=5\)

b) Tìm m để pt có 2 nghiệm thỏa mãn \(x_1< 1< x_2\)

c) Tìm hệ thức liên hệ giữa \(x_1;x_2\) không phụ thuộc vào m

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

\(\Delta=\left(2m+1\right)^2-4\left(2m-4\right)=\left(2m-1\right)^2+16>0\)

Phương trình luôn có 2 nghiệm pb

Theo Viet ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+1\\x_1x_2=2m-4\end{matrix}\right.\) (1)

a/ \(\left|x_1\right|+\left|x_2\right|=5\)

\(\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2+2\left|x_1x_2\right|=25\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+2\left|x_1x_2\right|=25\)

\(\Leftrightarrow\left(2m+1\right)^2-2\left(2m-4\right)+2\left|2m-4\right|=25\)

- Với \(m\ge2\) ta có:

\(\left(2m+1\right)^2=25\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}2m+1=5\\2m+1=-5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=-3< 2\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

- Với \(m< 2\) ta có:

\(\left(2m+1\right)^2-4\left(2m-4\right)-25=0\)

\(\Leftrightarrow4m^2-4m-8=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-1\\m=2\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

b/ \(x_1< 1< x_2\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1-1< 0\\x_2-1>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1< 0\)

\(\Leftrightarrow2m-4-\left(2m+1\right)+1< 0\)

\(\Leftrightarrow-4< 0\) (luôn đúng)

Vậy với mọi m pt luôn có 2 nghiệm t/m \(x_1< 1< x_2\)

c/ Trừ vế cho vế của hệ (1) ta được:

\(x_1+x_2-x_1x_2=5\)

Đây chính là biểu thức liên hệ 2 nghiệm ko phụ thuộc m