Question

[Ngọc Trương]

Cho phương trình : \(x^2-2\left(m+1\right)x+m-4=0\)

1. Chứng minh : phương trình luôn có 2 nghiệm với mọi m

2. Gọi \(x_1,x_2\) là 2 nghiệm của phương trình trên. Chứng minh rằng : \(A=x_1\left(1-x_2\right)+x_2\left(1-x_1\right)\) không phụ thuộc vào giá trị của m .

Answer 1

[Bùi Trung Sang]

1.

\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(m-4\right)=m^2+2m+1-m+4\)

\(\Rightarrow\Delta=m^2+m+5=\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{19}{4}>0\)

\(\Rightarrow\)pt luôn có nghiệm \(\forall\)m.

2.

Theo hệ thức vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=m-4\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow A=x_1\left(1-x_2\right)+x_2\left(1-x_1\right)\)

\(\Rightarrow A=x_1-x_1x_2+x_2-x_1x_2\)

\(\Rightarrow A=\left(x_1+x_2\right)-2x_1x_2\)=2(m+1)-2(m-4)

\(\Rightarrow A=2m+2-2m+8=10\)

\(\Rightarrow\)đccm.

Đây là ý kiến của mk.Nếu đúng thì bn cho 1 tick. Còn nếu sai thì mong bn góp ý.

Answer 2

[ngonhuminh]

1.

\(\Delta'_{\left(x\right)}=\left(m+1\right)^2-m+4=m^2+m+5\)

\(\Delta_{\left(m\right)}=1-20< 0\Rightarrow g\left(m\right)\) vô nghiệm \(\Rightarrow g\left(m\right)>0\forall m\in R\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có 2 nghiệm phân biệt \(\forall m\in R\Rightarrow dpcm\)

2.

\(A=x_1-x_1x_2+x_2-x_1.x_2=\left(x_1+x_2\right)-2x_1x_2\)

\(A=2\left(m+1\right)-2\left(m-4\right)=2m+2-2m+8=9\)

biểu thức A không chứa m => A không phụ thuộc m => dpcm