Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cách 1: Nếu bạn đã học các hằng đẳng thức đáng nhớ.
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\)\(=\frac{a^2+b^2}{ab}\)
\(\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{ab}-2\)\(=\frac{a^2-2ab+b^2}{ab}=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\)
Vì a,b > 0 nên \(\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}>0\)
hay \(\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{ab}-2\)\(>0\)
=>\(\frac{a^2+b^2}{ab}>2\)
=>\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}>2\)
Cách 2: nếu bạn đã học bất đẳng thức cô-si:
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}\ge2\sqrt{1}>2\)(theo bất đẳng thức cô-si)
a) Vì a > b
=> a.n > b.n
=> a.n + a.b > b.n + a.b
=> a.(b + n) > b.(a + n)
=> a/b > a+n/b+n ( đpcm)
Câu b và c lm tương tự
TA CÓ: \(\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c};\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c};\frac{c}{c+a}>\frac{c}{a+b+c}\)
=> \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\left(1\right)\)
TA LUÔN CÓ: \(\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c};\frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c};\frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{a+b+c}\)
=> \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{a+b+b+c+c+a}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\left(2\right)\)
TỪ (1) VÀ (2) => \(1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)
VẬY TA CÓ ĐPCM.
Cho \(B=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\)
Cm B>1
Ta có \(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}\)(vì phân số cùng tử thì mẫu số nào lớn hơn thì phân số đó bé hơn)
CM tương tự ta có\(\frac{b}{a+b+c}< \frac{b}{b+c}\)
\(\frac{c}{a+b+c}< \frac{c}{c+a}\)
Cộng vế theo vế ta có \(\frac{a+b+c}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\)
1 < B
CM B<2
Ta có \(\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\)( Vì ta có công thức \(\frac{a}{b}< 1\Rightarrow\frac{a+m}{b+m}\)
Cm tương tự như phần trên rồi cộng vế theo vế ta có B<2
Ta có : \(b>0,d>0,\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\)
\(\Rightarrow ad< bc\) ( 1 )
\(\Rightarrow ad+ab< bc+ab\)
\(\Rightarrow a\left(d+b\right)< b\left(a+c\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\)
Vì \(b>0,d>0,\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{c}{d}=ad< bc\)
\(\Rightarrow ad+cd< bc+cd\) ( 2 )
\(\Rightarrow d\left(a+c\right)< c\left(b+d\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)
Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)
Ta có : \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\)
\(=\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{ab}-\frac{2ab}{ab}\)
\(=\frac{a^2-2ab+b^2}{ab}\)
\(=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\) ( do a;b > 0 )
Dấu "=" xảy ra khi :
\(a-b=0\Leftrightarrow a=b\)
Vậy ...
Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\) (đúng)
\(\Rightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
Ta có: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}\ge\frac{2ab}{ab}=2\)
"=" khi a=b. Nhưng a<b nên dấu bằng ko xảy ra,vậy ta có đpcm
Giải
Không giảm tính tổng quát, giả sử \(a\ge b\) suy ra a = b + m \(\left(m\ge0\right)\)
Ta có: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{b+m}{b}+\frac{b}{b+m}\)
\(=1+\frac{m}{b}+\frac{b}{b+m}\ge1+\frac{m}{b+m}+\frac{b}{b+m}=1+\frac{m+b}{b+m}\)
\(=1+1=2\)
Vậy \(\frac{a}{b}+\frac{a}{b}\ge2\) (dấu = \(\Leftrightarrow\) m = 0\(\Leftrightarrow\) a = b)