Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(a,M\in\left(d\right)\Rightarrow a.0+b.2=-2\)
\(\Rightarrow b=-1\)
\(\Rightarrow\left(d\right)ax-y=-2\)
\(\Rightarrow\left(d\right)y=ax+2\)
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình
\(\frac{x^2}{4}=ax+2\)
\(\Leftrightarrow x^2-4ax-8=0\)(1)
Có \(\Delta'=4a^2+8>0\)
Nên pt (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt
=> (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A và B
b, Gọi 2 điểm A và B có tọa độ là \(A\left(x_1;y_1\right);B\left(x_2;y_2\right)\)
Theo hệ thức Vi-ét \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=4a\\x_1x_2=-8\end{cases}}\)
Vì \(A;B\in\left(P\right)\Rightarrow\hept{\begin{cases}y_1=\frac{x_1^2}{4}\\y_2=\frac{x_2^2}{4}\end{cases}}\)
Ta có \(AB=\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2}\)
\(=\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2+\left(y_1+y_2\right)^2-4y_1y_2}\)
\(=\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2+\left(\frac{x_1^2+x_2^2}{4}\right)^2-4.\frac{x_1^2x_2^2}{4.4}}\)
\(=\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2+\frac{\left[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right]^2}{4}-\frac{x_1^2x_2^2}{4}}\)
\(=\sqrt{16a^2+32+\frac{\left(16a^2+16\right)^2}{4}-\frac{64}{4}}\)
\(\ge\sqrt{16.0+32+\frac{\left(16.0+16\right)^2}{4}-\frac{64}{4}}=4\sqrt{5}\)
Dấu "=" <=> a = 0
Bài này sử dựng định lý viet để chứng minh:
- Gọi phương trình đường thẳng (d) có hệ số góc a có dạng : \(y=ax+b\left(a\ne0\right)\); \(M\left(1,2\right)\)thuộc (d) nên : \(2=a+b\Rightarrow b=2-a\left(1\right)\). Xét phương trình hoành độ giao điểm có : \(x^2=ax+b\left(2\right)\)thế 1 vào 2 có \(x^2=ax+2-a\Leftrightarrow x^2-ax-\left(2-a\right)=0\)phương trình có : \(\Delta=a^2+4\left(2-a\right)=a^2-4a+8\)\(\Rightarrow\Delta=\left(a^2-4a+4\right)+4=\left(a-2\right)^2+4\ge4\forall a\) nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá tri của \(a\ne0\)
- Khi đó parabol cắt d tại hai điểm A,B với A,B có hoành độ lần lượt là \(x_A,x_B\) theo vi ét ta có : \(\hept{\begin{cases}x_A+x_B=a\\x_Ax_B=-\left(2-a\right)\end{cases}}\)ta xét \(x_A+x_B-x_Ax_B=a+\left(2-a\right)=2\left(dpcm\right)\)