Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
## Bài 1:
**a) Chứng minh rằng các tam giác AMQ, ANP vuông cân.**
* **Tam giác AMQ:**
* Ta có: $\widehat{MAQ} = 90^\circ$ (do d vuông góc với AM)
* $\widehat{AMQ} = \widehat{ABM}$ (cùng phụ với $\widehat{AMB}$)
* Mà $\widehat{ABM} = 45^\circ$ (do ABCD là hình vuông)
* Nên $\widehat{AMQ} = 45^\circ$
* Vậy tam giác AMQ vuông cân tại A.
* **Tam giác ANP:**
* Ta có: $\widehat{NAP} = 90^\circ$ (do d vuông góc với AM)
* $\widehat{ANP} = \widehat{ADN}$ (cùng phụ với $\widehat{AND}$)
* Mà $\widehat{ADN} = 45^\circ$ (do ABCD là hình vuông)
* Nên $\widehat{ANP} = 45^\circ$
* Vậy tam giác ANP vuông cân tại A.
**b) Gọi giao điểm của QM và NP là R. Gọi I, K là trung điểm của đoạn thẳng MQ, PN. Chứng minh rằng AIKR là hình chữ nhật**
* **Chứng minh AIKR là hình bình hành:**
* Ta có: I là trung điểm của MQ, K là trung điểm của PN.
* Nên IK là đường trung bình của hình thang MNPQ.
* Do đó IK // MN // PQ.
* Mà AI // KR (do AI là đường trung bình của tam giác AMQ, KR là đường trung bình của tam giác ANP)
* Vậy AIKR là hình bình hành.
* **Chứng minh AIKR là hình chữ nhật:**
* Ta có: $\widehat{IAK} = 90^\circ$ (do AI // KR và $\widehat{IAK}$ là góc vuông)
* Vậy AIKR là hình chữ nhật.
**c) Chứng minh rằng bốn điểm K,B,I,D thẳng hàng**
* **Chứng minh KB // ID:**
* Ta có: KB là đường trung bình của tam giác BCP, ID là đường trung bình của tam giác DQN.
* Nên KB // CP // DQ // ID.
* Vậy KB // ID.
* **Chứng minh KB = ID:**
* Ta có: KB = 1/2 CP, ID = 1/2 DQ.
* Mà CP = DQ (do ABCD là hình vuông)
* Nên KB = ID.
* **Kết luận:**
* Do KB // ID và KB = ID nên KBID là hình bình hành.
* Mà $\widehat{KBI} = 90^\circ$ (do KB // CP và $\widehat{KBI}$ là góc vuông)
* Vậy KBID là hình chữ nhật.
* Do đó bốn điểm K,B,I,D thẳng hàng.
## Bài 2:
**a) Chứng minh rằng BF = CE; BF ⊥ CE**
* **Chứng minh BF = CE:**
* Ta có: ABDE và ACGF là hình vuông.
* Nên AB = AE, AC = AF.
* Do đó BF = BC + CF = AB + AC = AE + AF = CE.
* **Chứng minh BF ⊥ CE:**
* Ta có: $\widehat{ABF} = 90^\circ$ (do ABDE là hình vuông)
* $\widehat{ACE} = 90^\circ$ (do ACGF là hình vuông)
* Nên $\widehat{ABF} + \widehat{ACE} = 180^\circ$.
* Do đó BF ⊥ CE.
**b) Tam giác MO O1 2 là tam giác vuông cân**
* **Chứng minh MO O1 2 là tam giác vuông:**
* Ta có: O1 là tâm hình vuông ABDE, O2 là tâm hình vuông ACGF.
* Nên O1O2 là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
* Do đó MO1 = MO2.
* Mà $\widehat{MO1O2} = 90^\circ$ (do O1O2 là đường trung trực của BC)
* Vậy tam giác MO O1 2 là tam giác vuông tại O.
* **Chứng minh MO O1 2 là tam giác cân:**
* Ta có: MO1 = MO2 (chứng minh trên)
* Vậy tam giác MO O1 2 là tam giác cân tại M.
* **Kết luận:**
* Tam giác MO O1 2 là tam giác vuông cân tại O.
I A B C E H D L G F K
a) Do I đối xứng với D qua H nên HI = HD.
Xét tứ giác BDEI có HI = HD; HB = HE nên BDEI là hình bình hành.
Lại có \(\widehat{EDB}=90^o\) nên BDEI là hình chữ nhật.
b) Do BDEI là hình chữ nhật nên IE // BD và IE = BD.
Vậy thì ta cũng có ngay IE // DL và IE = DL
Suy ra tứ giác IDLE là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)
c) Xét tam giác EBL có ED là đường cao đồng thời trung tuyến. Vậy tam giác EBL cân tại E hay \(\widehat{EBL}=\widehat{ELB}\)
Do tam giác ABC cân tại A nên \(\widehat{EBL}=\widehat{ACB}\) , suy ra \(\widehat{ACB}=\widehat{ELB}\)
Chúng lại ở vị trí đồng vị nên EL // GC.
Theo câu b, IDLE là hình bình hành nên IE // DL và ID // EL , vậy thì ID // GC
Xét tứ giác IGCD có: IG // DC; ID // GC nên IGDC là hình bình hành.
d) Ta có EG // BC nên tam giác AEG cân tại A hay AE = AG
Xét tam giác vuông FEG có AE = AG nên \(\widehat{AEG}=\widehat{AGE}\Rightarrow\widehat{AFE}=\widehat{AEF}\Rightarrow AE=AF\)
Vậy thì A là trung điểm EF.
Theo đề bài thì DFKC là hình chữ nhật nên FK song song và bằng DC
Lại có IGCD là hình bình hành nên IG song song và bằng DC.
Vậy thì FK song song và bằng IG hay FKGI là hình bình hành.
Suy ra FG và IK cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
A là trung điểm FG nên A là trung điểm IK. Vậy I, A, K thẳng hàng.