Question

[Vũ's Nhung's]

cho hai biểu thức A=\(\frac{2}{\sqrt{x}-2}\) và B=\(\frac{\sqrt{x}}{x+1}-\frac{4\sqrt{x}+2}{x\sqrt{x}-2x+\sqrt{x}-2}\) với x≥0 và x≠4

1, tính giá trị của A khi x=\(\sqrt{7-4\sqrt{3}}+\sqrt{7+4\sqrt{3}}\)

2, rút gọn biểu thức P=A+B

3, tìm giá trị của x để biểu thức P đạt giá trị lớn nhất

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

1:

ĐKXĐ: x≠4

Ta có: \(x=\sqrt{7-4\sqrt{3}}+\sqrt{7+4\sqrt{3}}\)

\(=\sqrt{3-2\cdot\sqrt{3}\cdot2+4}+\sqrt{3+2\cdot\sqrt{3}\cdot2+4}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{3}-2\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{3}+2\right)^2}\)

\(=\left|\sqrt{3}-2\right|+\left|\sqrt{3}+2\right|\)

\(=2-\sqrt{3}+\sqrt{3}+2\)

\(=4\)(ktm ĐKXĐ)

Vậy: Khi x=4 thì A không có giá trị

2: Ta có: P=A+B

\(\Leftrightarrow P=\frac{2}{\sqrt{x}-2}+\frac{\sqrt{x}}{x+1}-\frac{4\sqrt{x}+2}{x\sqrt{x}-2x+\sqrt{x}-2}\)

\(\Leftrightarrow P=\frac{2\left(x+1\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(x+1\right)}+\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(x+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}-\frac{4\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(x+1\right)}\)

\(\Leftrightarrow P=\frac{2x+2+x-2\sqrt{x}-4\sqrt{x}-2}{\left(x+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(\Leftrightarrow P=\frac{3x-6\sqrt{x}}{\left(x+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}=\frac{3\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(x+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(\Leftrightarrow P=\frac{3\sqrt{x}}{x+1}\)