Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta phân tích \(n^2=\dfrac{1}{3}\left(n+1\right)^3-\dfrac{1}{2}\left(n+1\right)^2+\dfrac{1}{6}\left(n+1\right)-\dfrac{1}{3}n^3+\dfrac{1}{2}n^2-\dfrac{1}{6}n\)
\(\Rightarrow u_{n+1}-\dfrac{1}{3}\left(n+1\right)^3+\dfrac{1}{2}\left(n+1\right)^2-\dfrac{1}{6}\left(n+1\right)=u_n-\dfrac{1}{3}n^3+\dfrac{1}{2}n^2-\dfrac{1}{6}n\)
Đặt \(v_n=u_n-\dfrac{1}{3}n^3+\dfrac{1}{2}n^2-\dfrac{1}{6}n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{6}=1\\v_{n+1}=v_n\end{matrix}\right.\)
Từ \(v_{n+1}=v_n\Rightarrow v_{n+1}=v_n=v_{n-1}=...=v_1=1\)
\(\Rightarrow u_n-\dfrac{1}{3}n^3+\dfrac{1}{2}n^2-\dfrac{1}{6}n=1\Rightarrow u_n=\dfrac{1}{3}n^3-\dfrac{1}{2}n^2+\dfrac{1}{6}n+1\)
\(\Rightarrow u_n=1+\dfrac{2n^3-3n^2+n}{6}=1+\dfrac{n\left(n-1\right)\left(2n-1\right)}{6}\)
a) Năm số hạng đầu của dãy số là 3, √10, √11, √12, √13.
b) Ta có: u1 = 3 = √9 = √(1 + 8)
u2 = √10 = √(2 + 8)
u3 = √11 = √(3 + 8)
u4 = √12 = √(4 + 8)
...........
Từ trên ta dự đoán un = √(n + 8), với n ε N* (1)
Chứng minh công thức (1) bằng phương pháp quy nạp:
- Với n = 1, rõ ràng công thức (1) là đúng.
- Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, tức là có uk = √(k + 8) với k ≥ 1.
Theo công thức dãy số, ta có:
uk+1 = .
Như vậy công thức (1) đúng với n = k + 1.
a) Năm số hạng đầu của dãy số là 3, √10, √11, √12, √13.
b) Ta có: u1 = 3 = √9 = √(1 + 8)
u2 = √10 = √(2 + 8)
u3 = √11 = √(3 + 8)
u4 = √12 = √(4 + 8)
...........
Từ trên ta dự đoán un = √(n + 8), với n ε N* (1)
Chứng minh công thức (1) bằng phương pháp quy nạp:
- Với n = 1, rõ ràng công thức (1) là đúng.
- Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, tức là có uk = √(k + 8) với k ≥ 1.
Theo công thức dãy số, ta có:
uk+1 = .
Như vậy công thức (1) đúng với n = k + 1.
a) Ta có:
u1 = 2, u2 = 2u1 – 1 = 3, u3 = 2u2 – 1= 5
u4 = 2u3 -1 = 9, u5 = 2u4 – 1= 10
b) Với n = 1, ta có: u1 = 21-1 + 1 = 2 : đúng
Giả sử công thức đúng với n = k. Nghĩa là: uk = 2k-1 + 1
Ta chứng minh công thức cũng đúng với n = k + 1,
Nghĩa là chứng minh:
Uk+1 = 2(k+1)-1 + 1 = 2k + 1
Ta có: uk+ 1 = 2uk – 1 = 2(2k -1+ 1) -1 = 2.2k -1 + 2 – 1 = 2k + 1 (đpcm)
Vậy un = 2n-1 + 1 với mọi n ∈ N*
\(S_n=3^n-1\)
\(S=2011\left(u_1+...+u_{2010}\right)-\left(u_1+...+u_{2009}\right)-\left(u_1+...+u_{2008}\right)-...-u_1\)
\(=2011S_{2010}-\left(S_{2009}+S_{2008}+...+S_1\right)\)
\(=2011\left(3^{2010}-1\right)-\left(3^{2009}-1+3^{2008}-1+...+3^1-1\right)\)
\(=2011\left(3^{2010}-1\right)-\left(3.\dfrac{3^{2009}-1}{3-1}-2009\right)\)
\(=...\)