Question

[Xích U Lan]

Cho ΔABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD = AB. Gọi O là trung điểm của BD. . Vẽ (O) đường kính BD cắt cạnh BC tại điểm thứ hai K.

a, C/m: CK.CB = CD.CA
b, Tính ˆAHO

Answer 1

[Trương Huy Hoàng]

a, Xét đường tròn (O) có: \(\Delta\)BKD nội tiếp; BD là đường kính

\(\Rightarrow\) \(\Delta\)BKD vuông tại K (sự xác định đường tròn)

\(\Rightarrow\) BK \(\perp\) KD

Mà C \(\in\) BK \(\Rightarrow\) CK \(\perp\) KD

Xét \(\Delta\)CKD và \(\Delta\)CAB có:

\(\widehat{CKD}=\widehat{CAB}=90^o\)

\(\widehat{C}\) chung

\(\Rightarrow\) \(\Delta\)CKD ~ \(\Delta\)CAB (gg)

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{CK}{CA}=\dfrac{CD}{CB}\) (tỉ số đồng dạng)

\(\Rightarrow\) CK.CB = CD.CA (đpcm)

b, Xét tam giác ABD có: AB = AD (gt)

\(\Rightarrow\) \(\Delta\)ABD cân tại A (dhnb)

Mà AO là trung tuyến ứng với BD của \(\Delta\)ABD (O là tâm của đường tròn đk BD)

\(\Rightarrow\) AO là đường cao ứng với BD (tính chất tam giác cân)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{AOB}\) = 90^o

Xét tứ giác BHOA có: \(\widehat{BHA}=\widehat{BOA}=90^o\) (AH là đường cao; cmt)

Hai góc có đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh AB dưới 1 góc vuông ko đổi

\(\Rightarrow\) BHOA là tứ giác nội tiếp (dhnb tứ giác nội tiếp)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{AHO}=\widehat{ABO}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn \(\stackrel\frown{AO}\)) (1)

Xét tam giác ABD cân tại A có: \(\widehat{BAD}=90^o\) (tam giác ABD vuông tại A)

\(\Rightarrow\) Tam giác ABD vuông cân tại A 

\(\Rightarrow\) \(\widehat{ABD}\) = 45^o (t/c tam giác vuông cân) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) \(\widehat{AHO}=45^o\)

Chúc bn học tốt!