Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 - a4 - b4 - c4 > 0
2a2b2+ 2b2c2+ 2c2a2- a4- b4- c4
=4a2b2-(a4+2a2b2+b4)+(2b2c2+2a2c2)-c4
=2(ab)2-(a+b)2+2c2(a2+b2)-c4
=2(ab)2-[(a+b)2-2c2(a2+b2)+c4]
=2(ab)2-(b2+a2-c2)2
=(2ab+b2+a2-c2)(2ab-b2-a2+c2)
=[(a+b)2-c2][-(a-b)2+c2]
=(a+b-c)(a+b+c)(c-a+b)(a+c-b)
Vì a,b,c là 3 cạnh 1 tam giác nên:
a+b>c suy ra b+a-c>0
a+c>b suy ra a-b+c>0
a,b,c>0 suy ra a+b+c>0
b+c>a suy ra b+c-a>0
Vậy ta có điều phải chứng minh
\(Xét:\\ A=\left(a^4+b^4+c^4-2a^2b^2+2b^2c^2-2c^2a^2\right)-4b^2c^2\\ \Leftrightarrow\left(a^2-b^2-c^2\right)-4b^2c^2\\ \Leftrightarrow\left(a^2-b^2-c^2+2bc\right)\left(a^2-b^2-c^2-2bc\right)\\ \Leftrightarrow\left[a^2-\left(b-c\right)^2\right]\left[a^2-\left(b+c\right)^2\right]\\ \Leftrightarrow\left(a-b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(a-b-c\right)\left(a+b+c\right)\)
Vì a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên A < 0
\(A< 0\Leftrightarrow B=-\left(a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2\right)>0\)
Lời giải:
Xét:
\(a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2a^2c^2\)
\(=(a^4+b^4+2a^2b^2)+c^4-2c^2(b^2+a^2)-4a^2b^2\)
\(=(a^2+b^2)^2+(c^2)^2-2c^2(a^2+b^2)-(2ab)^2\)
\(=(a^2+b^2-c^2)^2-(2ab)^2=(a^2+b^2-c^2-2ab)(a^2+b^2-c^2+2ab)\)
\(=[(a-b)^2-c^2][(a+b)^2-c^2]\)
\(=(a-b-c)(a-b+c)(a+b-c)(a+b+c)\)
\(\Rightarrow 2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2-a^4-b^4-c^4=(b+c-a)(a-b+c)(a+b-c)(a+b+c)\)
Vì $a,b,c$ là 3 cạnh tam giác nên $b+c-a,a-b+c,a+b-c>0$ theo BĐT tam giác. Mặt khác hiển nhiên $a+b+c>0$
Do đó:
\(2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2-a^4-b^4-c^4=(b+c-a)(a-b+c)(a+b-c)(a+b+c)>0\)
Ta có đpcm.
\(A=2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2-a^4-b^4-c^4\)
\(=4a^2b^2-\left(2a^2b^2-2b^2c^2-2a^2c^2+a^4+b^4+c^4\right)\)
\(=\left(2ab\right)^2-\left(a^2+b^2-c^2\right)^2\)
\(=\left(2ab-a^2-b^2+c^2\right)\left(2ab+a^2+b^2-c^2\right)\)
\(=\left[c^2-\left(a-b\right)^2\right]\left[\left(a+b\right)^2-c^2\right]\)
\(=\left(c+a-b\right)\left(c-a+b\right)\left(a+b-c\right)\left(a+b+c\right)\)
Nếu a,b,c là độ dài 3 cạnh thì ta có:
c + a > b (bất đẳng thức tam giác)
a + b > c (bất đẳng thức tam giác)
b + c > a (bất đẳng thức tam giác)
mà a,b,c > 0
=> a + b + c dương
a + c - b dương
a + b - c dương
b + c - a dương
=> A dương
ta có:2a2b2+2a2c2+2c2b2-((a+b+c)4+2a^2b^2+2a^2c^2+2c^2b^2))
=(a^2+b^2+c^2)2
vì a,b,cla tổng ba cạnh của 1 tam giác nên a+b+c lớn hơn 0
suy ra (a+b+c)4lổn hơn 0 hay A lớn hơn ở