OC
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
AM
0
7 tháng 9 2015
Với a,b >0.Ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b}=\frac{4}{a+b}\left(đpcm\right)\)
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b
TC
4 tháng 6 2016
Dễ thấy với a,b >0 thì (a+b)/2 ≥ √ab <=> 1/(a+b) ≤ 1/4 (1/a +1/b)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được
1/(a+2b+3c)=1/[(a+c)+2(b+c)]≤ 1/4[1/(a+c)+1/2(b+c)] (lại áp dụng tiếp được)
≤ 1/16a+1/16c+1/32b+1/32c
=1/16a+1/32b+3/32c
Trường hợp này dấu "=" xảy ra <=> a+c=2(b+c);a=c;b=c <=> c= 0 mâu thuẩn giả thiết
Do đó dấu "=" không xảy ra
Thế thì 1/(a+2b+3c)<1/16a+1/32b+3/32c (1)
Tương tự 1/( b+2c+3a)<1/16b+1/32c+3/32a (2)
1/ ( c+2a+3b) < 1/16c+1/32a+3/32b (3)
Cộng (1)(2)(3) cho ta
1/( a+2b+3c) + 1/( b+2c+3a) + 1/ ( c+2a+3b) <(1/16+1/32+3/32)(1/a+1/b+1/c)
=3/16*(ab+bc+ca)abc= 3/16
tk nha mk trả lời đầu tiên đó!!!
11 tháng 4 2017
\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{4}{a^2+b^2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}\ge\frac{4}{a^2+b^2}\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)^2\ge4a^2b^2\)
\(\Leftrightarrow a^4+2a^2b^2+b^4\ge4a^2b^2\)
\(\Leftrightarrow a^4+2a^2b^2+b^4-4a^2b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^4-2a^2b^2+b^4\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{4}{a^2+b^2}\)