K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

6 tháng 6 2017

\(P=\dfrac{bc}{a\left(b+c\right)}+\dfrac{ca}{b\left(c+a\right)}+\dfrac{ab}{c\left(a+b\right)}\)

\(=\dfrac{b^2c^2}{abc\left(b+c\right)}+\dfrac{c^2a^2}{abc\left(c+a\right)}+\dfrac{a^2b^2}{abc\left(a+b\right)}\)

\(\ge\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2abc\left(a+b+c\right)}\ge\dfrac{3abc\left(a+b+c\right)}{2abc\left(a+b+c\right)}=\dfrac{3}{2}\)

Dấu = xảy ra khi \(a=b=c\)

11 tháng 10 2018

Đề sai rồi: a,b,c > 0 thì làm sao mà có: ab + bc + ca = 0 được.

11 tháng 10 2018

mk viết nhầm

\(ab+bc+ca=1\)

bn giúp mk với

từ giả thiết, ta có \(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}=1\) đặt \(\left(\dfrac{1}{xy};\dfrac{1}{yz};\dfrac{1}{zx}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow a+b+c=1\) =>\(\left(\dfrac{ac}{b};\dfrac{ab}{c};\dfrac{bc}{a}\right)=\left(\dfrac{1}{x^2};\dfrac{1}{y^2};\dfrac{1}{z^2}\right)\) ta có...
Đọc tiếp

từ giả thiết, ta có \(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}=1\)

đặt \(\left(\dfrac{1}{xy};\dfrac{1}{yz};\dfrac{1}{zx}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow a+b+c=1\) =>\(\left(\dfrac{ac}{b};\dfrac{ab}{c};\dfrac{bc}{a}\right)=\left(\dfrac{1}{x^2};\dfrac{1}{y^2};\dfrac{1}{z^2}\right)\)

ta có VT=\(\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{y^2}}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{z^1}}}=\sqrt{\dfrac{1}{1+\dfrac{ac}{b}}}+\sqrt{\dfrac{1}{1+\dfrac{ab}{c}}}+\sqrt{\dfrac{1}{1+\dfrac{bc}{a}}}\)

=\(\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{b+ac}{b}}}+\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{a+bc}{a}}}+\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{c+ab}{c}}}=\sqrt{\dfrac{a}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\sqrt{\dfrac{b}{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}}+\sqrt{\dfrac{c}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)

\(\le\sqrt{3}\sqrt{\dfrac{ac+ab+bc+ba+ca+cb}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}=\sqrt{3}.\sqrt{\dfrac{2\left(ab+bc+ca\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\)

ta cần chứng minh \(\sqrt{\dfrac{2\left(ab+bc+ca\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\le\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow\dfrac{2\left(ab+bc+ca\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\le\dfrac{9}{4}\Leftrightarrow8\left(ab+bc+ca\right)\le9\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)

<=>\(8\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\le9\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\) (luôn đúng )

^_^

0
1 tháng 10 2017

Fix đề: Cho a,b,c không âm. Chứng minh \(\dfrac{1}{\left(a-b\right)^2}+\dfrac{1}{\left(b-c\right)^2}+\dfrac{1}{\left(c-a\right)^2}\ge\dfrac{4}{ab+bc+ca}\)

Dự đoán điểm rơi sẽ có 1 số bằng 0.

Giả sử \(c=min\left\{a,b,c\right\}\) ( c là số nhỏ nhất trong 3 số) thì \(c\ge0\)

do đó \(ab+bc+ca\ge ab\)\(\dfrac{1}{\left(b-c\right)^2}\ge\dfrac{1}{b^2};\dfrac{1}{\left(c-a\right)^2}=\dfrac{1}{\left(a-c\right)^2}\ge\dfrac{1}{a^2}\)

BDT cần chứng minh tương đương

\(ab\left[\dfrac{1}{\left(a-b\right)^2}+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\right]\ge4\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{ab}{\left(a-b\right)^2}+\dfrac{a^2+b^2}{ab}\ge4\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{ab}{\left(a-b\right)^2}+\dfrac{\left(a-b\right)^2}{ab}+2\ge4\)

BĐT trên hiển nhiên đúng theo AM-GM.

Do đó ta có đpcm. Dấu = xảy ra khi c=0 , \(\left(a-b\right)^2=a^2b^2\) ( và các hoán vị )

1 tháng 10 2017

a,b,c không âm

31 tháng 8 2017

Xét \(\sqrt{\dfrac{\left(a+bc\right)\left(b+ac\right)}{c+ab}}=\sqrt{\dfrac{\left(a\left(a+b+c\right)+bc\right)\left(b\left(a+b+c\right)+ac\right)}{c\left(a+b+c\right)+ab}}\)

\(=\sqrt{\dfrac{\left(a^2+ab+ac+bc\right)\left(ab+b^2+bc+ac\right)}{ac+bc+c^2+ab}}\)

\(=\sqrt{\dfrac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)\(=\sqrt{\left(a+b\right)^2}=a+b\)

Tương tự cho 2 đẳng thức còn lại rồi cộng theo vế

\(P=a+b+b+c+c+a=2\left(a+b+c\right)=2\)

18 tháng 6 2018

\(A=3\left(ab+bc+ca\right)+\dfrac{1}{2}\left(a-b\right)^2+\dfrac{1}{4}\left(b-c\right)^2+\dfrac{1}{8}\left(c-a\right)^2\\ =3\left(ab+bc+ca\right)+\dfrac{\left(a-b\right)^2}{2}+\dfrac{\left(b-c\right)^2}{4}+\dfrac{\left(c-a\right)^2}{8}\)

Áp dụng BDT: Cô-si dạng Engel:

\(\Rightarrow A=3\left(ab+bc+ca\right)+\dfrac{\left(a-b\right)^2}{2}+\dfrac{\left(b-c\right)^2}{4}+\dfrac{\left(c-a\right)^2}{8}\ge3\left(ab+bc+ca\right)+\dfrac{\left(a-b+b-c+c-a\right)^2}{2+4+8}=3\left(ab+bc+ca\right)\left(1\right)\)

\(\text{Ta lại có: }ab+bc+ac\le a^2+b^2+c^2\\ \Leftrightarrow ab+bc+ac+2\left(ab+bc+ac\right)\le a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)\\ \Leftrightarrow3\left(ab+bc+ac\right)\le\left(a+b+c\right)^2=3^2=9\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\)\(\left(2\right)\Rightarrow A\le9\)

Dấu \("="\) xảy ra khi: \(\left\{{}\begin{matrix}a=b=c\\a+b+c=3\\\dfrac{a-b}{2}+\dfrac{b-c}{4}+\dfrac{c-a}{8}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=1\\c=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Vậy \(A_{Max}=9\) khi \(a=b=c=1\)

18 tháng 6 2018

vầng, cảm ơn nhiều ạ !