K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
14 tháng 6 2017
*Theo BĐT Cô-si: \(a^2+b^2\ge2ab\) (1) ; \(b^2+c^2\ge2bc\) (2) ; \(c^2+a^2\ge2ca\) (3)
Cộng vế theo vế (1), (2) và (3) ta được \(2P\ge2\left(ab+bc+ca\right)\Leftrightarrow P\ge ab+bc+ca=9\)
Vậy minP = 9, dấu bằng xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}a^2+b^2+c^2=9\\ab+bc+ca=9\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{3}}\)
**Từ giả thiết \(\Rightarrow ab+c\left(a+b\right)=9\Leftrightarrow c=\frac{9-ab}{a+b}\left(+\right)\)mà a, b, c là các số thực \(\ge1\)nên a,b \(\in\)[\(1;+\infty\)), tức là a, b dương vô cực, lớn không giới hạn \(\Rightarrow\left(+\right)\)dương vô cực hay \(a^2+b^2+c^2\)cũng lớn không giới hạn
Do đó: Không tồn tại maxP với điều kiện a, b, c là các số thực \(\ge1\)
***Kết luận: minP = 9 ; maxP không tồn tại
15 tháng 6 2017
Mình xin lỗi bạn Kim Huệ Thương nhé! Phần GTLN của câu này mình xin phép giải lại, mong bạn thông cảm vì sơ suất của mình nhé!
Ta có: \(a\ge1;b\ge1\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\Leftrightarrow ab+1\ge a+b\)(1)
Tương tự ta có: \(bc+1\ge b+c\)(2), \(ca+1\ge c+a\)(3)
Cộng vế theo vế (1), (2) và (3) ta được: \(ab+bc+ca+3\ge2\left(a+b+c\right)\Leftrightarrow a+b+c\le\frac{ab+bc+ca+3}{2}=\frac{9+3}{2}=6\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\le36\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\le36-2\left(ab+bc+ca\right)=36-18=18\)
Dấu ''='' xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}a^2+b^2+c^2=18\\ab+bc+ca=9\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=1\\c=4\end{cases}or\hept{\begin{cases}a=1\\b=4\\c=1\end{cases}or\hept{\begin{cases}a=4\\b=1\\c=1\end{cases}}}}}\)
Xin lỗi bạn nhé! ^_^
HD
3
6 tháng 3 2020
a,b,c \(\ge\)0 và a + b + c =3 \(\Rightarrow a,b,c< 4\)
giả sử b là số nằm giữa a,c thì ( b - a ) ( b - c ) \(\le\)0
\(\Leftrightarrow b^2+ac\le ab+bc\Rightarrow ab^2+a^2c\le abc+a^2b\)
\(\Rightarrow ab^2+bc^2+ca^2\le abc+a^2b+bc^2\le a^2b+bc^2+2abc=b\left(a+c\right)^2=b\left(3-b\right)^2\)
Cần chứng minh \(b\left(3-b\right)^2\le4\Leftrightarrow b^3-6b^2+9b-4\le0\Leftrightarrow\left(b-1\right)^2\left(b-4\right)\le0\)( luôn đúng )
Vậy GTLN của P là 4 khi ( a,b,c ) là hoán vị của bộ số ( 0 ; 1 ; 2 )
5 tháng 3 2020
Cho a,b,c là các số thực dương:
Chứng minh rằng: a2+b2+c2+2abc+1≥2(ab+bc+ca)a2+b2+c2+2abc+1≥2(ab+bc+ca)
Ta thấy trong ba số thực dương a;b;ca;b;c luôn tồn tại hai số cùng lớn hơn hay bằng 11 hoặc nhỏ hơn hay bằng 11. Giả sử đó là bb và cc.
Khi đó ta có: (b−1)(c−1)≥0⇔bc≥b+c−1(b−1)(c−1)≥0⇔bc≥b+c−1 suy ra 2abc≥2ab+2ac−2a2abc≥2ab+2ac−2a
Do đó, a2+b2+c2+2abc+1≥a2+b2+c2+2ab+2ac−2a+1a2+b2+c2+2abc+1≥a2+b2+c2+2ab+2ac−2a+1
Nên bây giờ ta chỉ cần chứng minh: a2+b2+c2+2ab+2ac−2a+1≥2(ab+bc+ca)a2+b2+c2+2ab+2ac−2a+1≥2(ab+bc+ca)
⇔(a2−2a+1)+(b2+c2−2bc)≥0⇔(a−1)2+(b−c)2≥0⇔(a2−2a+1)+(b2+c2−2bc)≥0⇔(a−1)2+(b−c)2≥0 (đúng)
Bài toán được chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1a=b=c=1.
ML
10 tháng 8 2015
\(M\ge3\left(ab+bc+ca\right)+2\sqrt{\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)}=3\left(ab+bc+ca\right)+2\sqrt{1-2\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(\text{Đặt }t=\sqrt{1-2\left(ab+bc+ca\right)}\Rightarrow ab+bc+ca=\frac{1-t^2}{2}\)
\(\text{Ta có: }0\le ab+bc+ca\le\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\in\left[0;\frac{1}{3}\right]\)
\(\Rightarrow-2\left(ab+bc+ca\right)\in\left[-\frac{2}{3};0\right]\)
\(\Rightarrow1-2\left(ab+bc+ca\right)\in\left[\frac{1}{3};1\right]\)
\(\Rightarrow t\in\left[\frac{1}{\sqrt{3}};1\right]\)
\(M=3.\frac{1-t^2}{2}+2t=-\frac{3}{2}t^2+2t+\frac{3}{2}\)
Lập bảng biến thiên hàm bậc 2, suy ra \(\text{Min }M\text{ (}t\in\left[\frac{1}{\sqrt{3}};1\right]\text{) }=2\text{ tại }t=1\)
Vậy GTNN của M là 2 khi t = 1 hay \(ab+bc+ca=0\Leftrightarrow\left(a;b;c\right)=\left(1;0;0\right);\left(0;0;1\right);\left(0;1;0\right)\)
TT
0
PT
2
27 tháng 2 2018
mình quỳ bạn luôn Nhân Thiên Hoàng ạ kiệt lên mạng hỏi mà mày lại bảo vậy thì thua luôn
BT
4 tháng 5 2018
Ta có: 2P=(a2+b2) + (b2+c2) + (c2+a2)
Theo Cauchy có:
\(2P\ge2ab+2bc+2ca=2\left(ab+bc+ca\right)=2.9\)
=> \(P\ge9\)=> Pmin = 9 đạt được khi x=y=\(\sqrt{3}\)
Hoặc:
P2= (a2+b2+c2)(b2+c2+a2)
Theo Bunhiacopxki có:
P2= (a2+b2+c2)(b2+c2+a2) \(\ge\)(ab+bc+ca)2=92
=> P\(\ge\)9 => Pmin=9
ML
5 tháng 5 2018
Vì \(a\ge1,b\ge1,c\ge1\)(gt) => \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\)<=> ab -a -b + 1 \(\ge0\)(1)
\(\left(b-1\right)\left(c-1\right)\ge0\)<=> bc - b - c + 1 \(\ge0\)(2)
\(\left(c-1\right)\left(a-1\right)\ge0\)<=> ca -c - a + 1 \(\ge0\)(3)
Cộng từng vế của (1), (2) và (3) ta được:
ab + bc + ca -2(a +b +c) + 3 \(\ge0\)
=> \(a+b+c\le\frac{ab+bc+ca+3}{2}=\frac{9+3}{2}=6\)
Mà \(a\ge1,b\ge1,c\ge1\Rightarrow a+b+c\ge3\)=> \(3\le a+b+c\le6\)=> \(\left(a+b+c\right)^2\le36\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\le36\)
=> \(a^2+b^2+c^2\le36-2\left(ab+bc+ca\right)=36-2\times9=18\)=> P \(\le18\)
Vậy GTLN của P là 18
Dâu "=" xảy ra khivà chỉ khi:
a =b=1, c=4
hoặc: b=c=1, a=4
hoặc: c=a=1, b=4
N
0
TT
2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
15 tháng 2 2020
Không mất tỉnh tổng quát, giả sử \(0\le a\le b\le c\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b+c\le3\\a\left(a-b\right)\le0\\a\left(a-c\right)\le0\end{matrix}\right.\)
\(P=\left[a\left(a-b\right)+b^2\right]\left[a\left(a-c\right)+c^2\right]\left[\left(b+c\right)^2-3bc\right]\)
\(\Rightarrow P\le b^2c^2\left(9-3bc\right)=12.\frac{bc}{2}.\frac{bc}{2}\left(3-bc\right)\le\frac{4}{9}\left(\frac{bc}{2}+\frac{bc}{2}+3-bc\right)^3=12\)
\(\Rightarrow P_{max}=12\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;1;2\right)\) và hoán vị
T
17 tháng 2 2020
Giả sử \(a\ge b\ge c\ge0\)
Ta sẽ chứng minh:\(P\le\frac{4}{243}\left(a+b+c\right)^6\)
Thật vậy:
\(P-\frac{4}{243}\left(a+b+c\right)^6\)
\(=\)
\(-\frac{1}{243}\left(a-2b\right)^2\left(2a-b\right)^2\left(a^2+11ab+b^2\right)\le0\) (cái này nhóm lại là thấy ngay:D)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(2;1;0\right)\) và hoán vị.
Lời giải:
Tìm min:
Theo BĐT AM-GM thì: $P=a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac$ hay $P\geq 9$
Vậy $P_{\min}=9$. Giá trị này đạt tại $a=b=c=\sqrt{3}$
-----------
Tìm max:
$P=a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)=(a+b+c)^2-18$
Vì $a,b,c\geq 1$ nên:
$(a-1)(b-1)\geq 0\Leftrightarrow ab+1\geq a+b$
Hoàn toàn tương tự: $bc+1\geq b+c; ac+1\geq a+c$
Cộng lại: $2(a+b+c)\leq ab+bc+ac+3=12$
$\Rightarrow a+b+c\leq 6$
$\Rightarrow P=(a+b+c)^2-18\leq 6^2-18=18$
Vậy $P_{\max}=18$. Giá trị này đạt tại $(a,b,c)=(1,1,4)$ và hoán vị