Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(a,b,c\) là 3 cạnh của tam giác
Theo BĐT tam giác ta có:
\(\hept{\begin{cases}a< b+c\\b< c+a\\c< a+b\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}a^2< a\left(b+c\right)=ab+ac\left(1\right)\\b^2< b\left(c+a\right)=bc+ab\left(2\right)\\c^2< c\left(a+b\right)=ac+bc\left(3\right)\end{cases}}\)
Cộng theo vế (1), (2), (3) ta có:
\(a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ca\right)\) (đpcm)
Cho a, b, c là chiều dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca).
Vì a; b; c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác nên ta có : \(a+b>c;a+c>b;b+c>a\)
\(\Rightarrow c\left(a+b\right)>c.c\Rightarrow ac+bc>c^2\)
\(\Rightarrow b\left(a+c\right)>b.b\Rightarrow ab+bc>b^2\)
\(\Rightarrow a\left(b+c\right)>a.a\Rightarrow ab+ac>a^2\)
Cộng vế với vế ta được :
\(\left(ac+bc\right)+\left(ab+bc\right)+\left(ab+ac\right)>a^2+b^2+c^2\)
\(\Rightarrow2\left(ab+bc+ac\right)>a^2+b^2+c^2\) (đpcm)
Nhân 2 vế với a>0 ta có
ab+ac>a^2 (1)
bc+ba>b^2 (2)
ac+cb>c^2 (3)
Cộng hai vế của (1) , (2) , (3) ta được 2(ab+bc+ca)>a^2+b^2+c^2 ( đpcm)
Ta có; \(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ca\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
Mà \(\left(a-b\right)^2\ge0;\left(b-c\right)^2\ge0;\left(c-a\right)^2\ge0\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c}\)
Vậy...
Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh 1 tam giác nên:
\(a< b+c\Rightarrow a^2< ab+ac\)
Tương tự:
\(b^2< ab+bc;c^2< ac+bc\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ac\right)\left(đpcm\right)\)
+)\(ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+ca\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
+)\(a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-2\left(ab+bc+ca\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-ab-ca\right)+\left(b^2-ab-bc\right)+\left(c^2-bc-ca\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow a\left(a-b-c\right)+b\left(b-a-c\right)+c\left(c-b-a\right)< 0\)(luôn đúng)
Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có :
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b+c>a\\a+c>b\\a+b>c\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ab+ac>a^2\\ba+bc>b^2\\ca+cb>c^2\end{matrix}\right.\)
Cộng vế theo vế ta được : 2 (ab + ac + bc ) > a2 + b2 + c2
Áp dụng BĐT tam giác ta được:
a + b > c
b + c > a
a + c > b
Suy ra: ac + bc > c^2 (1)
ab + ac > a^2 (2)
ab + bc > b^2 (3)
Lấy (1) + (2) + (3) ta được:
a^2 + b^2 + c^2 < 2(ab + bc + ca) (đpcm)