Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ÁP dụng BĐT AM-Gm ta có:
\(Σ\frac{a^2}{\left(ab+2\right)\left(2ab+1\right)}\ge\frac{4}{9}\cdotΣ\frac{a^2}{\left(ab+1\right)^2}\)
ĐẶt \(a=\frac{x}{y};b=\frac{y}{z};c=\frac{z}{x}\) thì cần cm
\(Σ\frac{a^2}{\left(ab+1\right)^2}=Σ\left(\frac{xz}{y\left(x+z\right)}\right)^2\ge\frac{3}{4}\)
\(Σ\left(\frac{xz}{y\left(x+z\right)}\right)^2\ge\frac{1}{3}\left(\frac{xz}{y\left(x+z\right)}\right)^2\)
Theo C-S \(Σ\frac{xz}{y\left(x+z\right)}=\frac{\left(xz\right)^2}{xyz\left(x+z\right)}\ge\frac{\left(Σxy\right)^2}{2xy\left(Σx\right)}\ge\frac{3}{2}\)
\(\frac{1}{3}\cdot\left(Σ\frac{xz}{y\left(x+z\right)}\right)^2\ge\frac{1}{3}\cdot\frac{9}{4}=\frac{3}{4}\)
Đúng hay ta có ĐPCM xyar ra khi a=b=c=1
Kurosaki Akatsu giải thế thì đề bài cho \(b^2+c^2\le a^2\) để làm gì?
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(P=\frac{1}{a^2}\left(b^2+c^2\right)+a^2\left(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)
\(P=\frac{b^2}{a^2}+\frac{c^2}{a^2}+\frac{a^2}{b^2}+\frac{a^2}{c^2}\ge4.\sqrt[4]{\frac{b^2}{a^2}.\frac{c^2}{a^2}.\frac{a^2}{b^2}.\frac{a^2}{c^2}}=4.1=4\)
=> \(Min_P=4\)
Bài 4: Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: \(P=\text{}\Sigma_{cyc}a\sqrt{b^3+1}=\Sigma_{cyc}a\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}\le\Sigma_{cyc}a.\frac{\left(b+1\right)+\left(b^2-b+1\right)}{2}=\Sigma_{cyc}\frac{ab^2+2a}{2}=\frac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+3\)Giả sử b là số nằm giữa a và c thì \(\left(b-a\right)\left(b-c\right)\le0\Rightarrow b^2+ac\le ab+bc\)\(\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2\le a^2b+abc+bc^2\le a^2b+2abc+bc^2=b\left(a+c\right)^2=b\left(3-b\right)^2\)
Ta sẽ chứng minh: \(b\left(3-b\right)^2\le4\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\left(b-4\right)\left(b-1\right)^2\le0\)(đúng với mọi \(b\in[0;3]\))
Từ đó suy ra \(\frac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+3\le\frac{1}{2}.4+3=5\)
Đẳng thức xảy ra khi a = 2; b = 1; c = 0 và các hoán vị
Bài 1: Đặt \(a=xc,b=yc\left(x,y>0\right)\)thì điều kiện giả thiết trở thành \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4\)
Khi đó \(P=\frac{x}{y+3}+\frac{y}{x+3}+\frac{xy}{x+y}=\frac{x^2+y^2+3\left(x+y\right)}{xy+3\left(x+y\right)+9}+\frac{xy}{x+y}\)\(=\frac{\left(x+y\right)^2+3\left(x+y\right)-2xy}{xy+3\left(x+y\right)+9}+\frac{xy}{x+y}\)
Có: \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4\Rightarrow xy=3-\left(x+y\right)\)
Đặt \(t=x+y\left(0< t< 3\right)\Rightarrow xy=3-t\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{t^2}{4}\Rightarrow t\ge2\)(do t > 0)
Lúc đó \(P=\frac{t^2+3t-2\left(3-t\right)}{3-t+3t+9}+\frac{3-t}{t}=\frac{t}{2}+\frac{3}{t}-\frac{3}{2}\ge2\sqrt{\frac{t}{2}.\frac{3}{t}}-\frac{3}{2}=\sqrt{6}-\frac{3}{2}\)với \(2\le t< 3\)
Vậy \(MinP=\sqrt{6}-\frac{3}{2}\)đạt được khi \(t=\sqrt{6}\)hay (x; y) là nghiệm của hệ \(\hept{\begin{cases}x+y=\sqrt{6}\\xy=3-\sqrt{6}\end{cases}}\)
Ta lại có \(P=\frac{t^2-3t+6}{2t}=\frac{\left(t-2\right)\left(t-3\right)}{2t}+1\le1\)(do \(2\le t< 3\))
Vậy \(MaxP=1\)đạt được khi t = 2 hay x = y = 1
Ta co:
\(P\ge21\left(a^2+b^2+c^2\right)+12\left(a+b+c\right)^2+\frac{2017.9}{2}\)
\(=21\left(a^2+b^2+c^2\right)+12\left(a+b+c\right)^2+\frac{18153}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{P}{\left(a+b+c\right)^2}\ge21\left[\left(\frac{a}{a+b+c}\right)^2+\left(\frac{b}{a+b+c}\right)^2+\left(\frac{c}{a+b+c}\right)^2\right]+12+\frac{\frac{18153}{2}}{\left(a+b+c\right)^2}\)
Dat \(\left(\frac{a}{a+b+c};\frac{b}{a+b+c};\frac{c}{a+b+c}\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\)
\(\Rightarrow x+y+z=1\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=\frac{a^2}{x^2}\)
BDT tro thanh:
\(\frac{P}{\left(a+b+c\right)^2}\ge21\left(x^2+y^2+z^2\right)+12+\frac{18153}{2\left(a+b+c\right)^2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{P}{\frac{a^2}{x^2}}\ge21\left(x^2+y^2+z^2\right)+12+\frac{18153}{2\left(a+b+c\right)^2}\ge21.\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+12+\frac{18153}{8}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2P}{a^2}\ge7+12+\frac{18153}{8}\)
Ta lai co:\(x=\frac{a}{a+b+c}\ge\frac{a}{2}\Rightarrow a^2\le4x^2\)
Suy ra:\(\frac{x^2P}{a^2}\ge\frac{x^2P}{4x^2}=\frac{P}{4}\)
\(\Rightarrow\frac{P}{4}\ge\frac{18503}{8}\)
\(\Leftrightarrow P\ge\frac{18503}{2}\)
Dau '=' xay ra khi \(a=b=c=\frac{2}{3}\)
Vay \(P_{min}=\frac{18503}{2}\)khi \(a=b=c=\frac{2}{3}\)
Bài 2:
Ta cóB=\(\frac{8}{a^3b^3c^3}\)
Áp dụng BĐT cô-si, ta có
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow3\sqrt[3]{abc}\le6\Rightarrow\sqrt[3]{abc}\le2\Rightarrow abc\le8\Rightarrow a^3b^3c^3\le512\)
=>\(\frac{8}{a^3b^3c^3}\ge\frac{8}{512}=\frac{1}{64}\)
dấu = xảy ra <=>a=b=c=2
^_^
Bài 1:,
Đặt ..=A
Ta có \(A=\frac{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}{a+b}+\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}+\frac{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}{a+c}\)
Đặt \(a+b=x;b+c=y;c+a=z\) =>x+y+z=2
Ta có A=\(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\)
Áp dụng BĐT cô-si, ta có \(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\ge2\sqrt{\frac{xy^2z}{zx}}=2y\)
Tương tự thì 2A\(\ge2\left(x+y+z\right)=4\Rightarrow A\ge2\left(ĐPCM\right)\)
Dấu = xảy ra <=>a=b=c=1/3
^_^
Bài 1
*Chứng minh bằng AM-GM
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(\hept{\begin{cases}a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\\\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\end{cases}\Rightarrow}\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}\cdot3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=9\sqrt[3]{abc\cdot\frac{1}{abc}}=9\)
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c
Bài 1
*Chứng minh bằng Cauchy-Schwarz
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=\frac{9}{a+b+c}\)
=> \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\left(a+b+c\right)\cdot\frac{9}{a+b+c}=9\left(đpcm\right)\)
Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c
\(\Rightarrow5a^2+\frac{5}{2}\left(b+c\right)^2\le9a\left(b+c\right)+18bc\le9a\left(b+c\right)+\frac{9}{2}\left(b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow5a^2\le9a\left(b+c\right)+2\left(b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow5a^2\le18.\frac{a}{2}\left(b+c\right)+2\left(b+c\right)^2\le9\left(\frac{a^2}{4}+\left(b+c\right)^2\right)+2\left(b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{11a^2}{4}\le11\left(b+c\right)^2\Rightarrow b+c\ge\frac{a}{2}\Rightarrow\frac{b+c}{a}\ge\frac{1}{2}\)
\(P\ge1010\left(\frac{b+c}{a}\right)^2+\frac{a}{b+c}\)
Đặt \(\frac{b+c}{a}=x\ge\frac{1}{2}\Rightarrow P\ge1010x^2+\frac{1}{x}=1006x^2+4x^2+\frac{1}{2x}+\frac{1}{2x}\)
\(\Rightarrow P\ge1006.\left(\frac{1}{2}\right)^2+3\sqrt[3]{\frac{4x^2}{4x^2}}=...\)