Câu hỏi của Khoa Nguyễn

Question

Cho a,b,c la cac so duong thay doi thoa man dieu kien : 5a²+2abc+4b²+3c² =60

Tim MAX A=a+b+c

tth_new · Accepted Answer

Em có cách giải khác nhưng không chắc lắm!

Nếu $c\ge\frac{13}{3}$ thì: $60=5a^2+2abc+4b^2+3c^2\ge5a^2+\frac{26}{3}ab+4b^2+3c^2$

$=\frac{1}{45}\left(15a+13b\right)^2+\frac{11b^2}{45}+3c^2$

$>\frac{\left(15a+13b\right)^2}{45}+3c^2=\frac{\left(15a+13b\right)^2+135c^2}{45}$

$>\frac{\left(13a+13b\right)^2+\left(11c\right)^2}{45}\ge\frac{\left(13a+13b+11c\right)^2}{45}>\frac{121\left(a+b+c\right)^2}{45}$

$\Rightarrow A=a+b+c< \sqrt{\frac{60.45}{121}}< 4,8< 6$

Nếu $0< c< \frac{13}{3}$:

$22\left(6-A\right)=22\left[6-\left(a+b+c\right)\right]$

$=\frac{1}{5}\left[\left(5a+bc-11\right)^2+\frac{5\left(c-3\right)^2\left(c+3\right)\left(13-3c\right)}{20-c^2}+\frac{(bc^2 - 20b - 11c + 55)^2}{20-c^2}\right]\ge0$

(chú ý phân tích chỗ này chỉ đúng với a, b, c thỏa mãn giả thiết)

Do đó $A\le6$. Tóm lại, trong mọi trường hợp của c, A luôn $\le6$.

Vậy Max A = 6 khi $a=1;b=2;c=3$

Câu trả lời:

Em có cách giải khác nhưng không chắc lắm!

Nếu $c\ge\frac{13}{3}$ thì: $60=5a^2+2abc+4b^2+3c^2\ge5a^2+\frac{26}{3}ab+4b^2+3c^2$

$=\frac{1}{45}\left(15a+13b\right)^2+\frac{11b^2}{45}+3c^2$

$>\frac{\left(15a+13b\right)^2}{45}+3c^2=\frac{\left(15a+13b\right)^2+135c^2}{45}$

$>\frac{\left(13a+13b\right)^2+\left(11c\right)^2}{45}\ge\frac{\left(13a+13b+11c\right)^2}{45}>\frac{121\left(a+b+c\right)^2}{45}$

$\Rightarrow A=a+b+c< \sqrt{\frac{60.45}{121}}< 4,8< 6$

Nếu $0< c< \frac{13}{3}$:

$22\left(6-A\right)=22\left[6-\left(a+b+c\right)\right]$

$=\frac{1}{5}\left[\left(5a+bc-11\right)^2+\frac{5\left(c-3\right)^2\left(c+3\right)\left(13-3c\right)}{20-c^2}+\frac{(bc^2 - 20b - 11c + 55)^2}{20-c^2}\right]\ge0$

(chú ý phân tích chỗ này chỉ đúng với a, b, c thỏa mãn giả thiết)

Do đó $A\le6$. Tóm lại, trong mọi trường hợp của c, A luôn $\le6$.

Vậy Max A = 6 khi $a=1;b=2;c=3$

Nguyễn Linh Chi · Answer

Trong đề thi vào lớp 10 tỉnh Thanh Hóa bài này có đáp án rồi.

Từ phương trình :$5a^2+2abc+4b^2+3c^2=60$(1) và a, b , c là các số dương

=> $4b^2< 60;3c^2< 60$

=> $\left(15-b^2\right)>0;\left(20-c^2\right)>0$

(1) <=> $5a^2+2bc.a+4b^2+3c^2-60=0$

Xem đẳng thức trên phương trình bậc 2 có tham số là b và c ẩn là a.

Khi đó: $\Delta'=\left(bc\right)^2-5\left(4b^2+3c^2-60\right)$

$=\left[\left(bc\right)^2-20b^2\right]-\left(15c^2-300\right)$

$=b^2\left(c^2-20\right)-15\left(c^2-20\right)=\left(b^2-15\right)\left(c^2-20\right)>0$( theo trên )

=> phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:

$a=\frac{-bc\pm\sqrt{\left(b^2-15\right)\left(c^2-20\right)}}{5}$

Xét nghiệm $a=\frac{-bc+\sqrt{\left(b^2-15\right)\left(c^2-20\right)}}{5}$

$\le\frac{-bc+\frac{1}{2}\left(15-b^2+20-c^2\right)}{5}=\frac{-\left(b+c\right)^2+35}{10}$

=> $a+b+c=\frac{-\left(b+c\right)^2+10\left(b+c\right)+35}{10}$

$=\frac{-\left(b+c-5\right)+60}{10}\le\frac{60}{10}=6$

Dấu "=" xảy ra <=> $\hept{\begin{cases}b+c-5=0\b^2-15=c^2-20\a+b+c=6\end{cases}}$<=> $\hept{\begin{cases}a=1\b=2\c=3\end{cases}}$ thử lại thỏa mãn ( 1)

Vậy: min A = 6 tại a = 1; b = 2; c = 3