Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1:
\(P=(x+1)\left(1+\frac{1}{y}\right)+(y+1)\left(1+\frac{1}{x}\right)\)
\(=2+x+y+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)
Áp dụng BĐT Cô-si:
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq 2\)
\(x+\frac{1}{2x}\geq 2\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}\)
\(y+\frac{1}{2y}\geq 2\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}\)
Áp dụng BĐT SVac-xơ kết hợp với Cô-si:
\(\frac{1}{2x}+\frac{1}{2y}\geq \frac{4}{2x+2y}=\frac{2}{x+y}\geq \frac{2}{\sqrt{2(x^2+y^2)}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)
Cộng các BĐT trên :
\(\Rightarrow P\geq 2+2+\sqrt{2}+\sqrt{2}+\sqrt{2}=4+3\sqrt{2}\)
Vậy \(P_{\min}=4+3\sqrt{2}\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Bài 2:
Áp dụng BĐT Svac-xơ:
\(\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+a+2c}\geq \frac{4}{2a+4b+2c}=\frac{2}{a+2b+c}\)
\(\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{b+c+2a}\geq \frac{4}{2b+4c+2a}=\frac{2}{b+2c+a}\)
\(\frac{1}{c+3a}+\frac{1}{c+a+2b}\geq \frac{4}{2c+4a+2b}=\frac{2}{c+2a+b}\)
Cộng theo vế và rút gọn :
\(\Rightarrow \frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a}\geq \frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{2b+c+a}+\frac{1}{2c+a+b}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$
Bạn ghi nhầm đề bài thì phải, \(a,b,c\in Z\)* mới đúng
\(\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+\dfrac{2}{ab}+\dfrac{2}{ac}+\dfrac{2}{bc}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2}{ab}+\dfrac{2}{ac}+\dfrac{2}{bc}=0\Leftrightarrow2\left(\dfrac{a+b+c}{abc}\right)=0\Leftrightarrow a+b+c=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^3=0\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=-3\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)
Mà \(-3\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)⋮3\Rightarrow a^3+b^3+c^3⋮3\)
Từ giả thiết suy ra: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)+\left(\dfrac{1}{c}-\dfrac{1}{a+b+c}\right)=0\)
\(\Rightarrow\dfrac{a+b}{ab}+\dfrac{a+b}{c\left(a+b+c\right)}=0\)
\(\Rightarrow\) (a + b)[c(a + b + c) + ab] = 0
\(\Rightarrow\) (a + b)(ac + ab + bc + c2) = 0
\(\Rightarrow\) (a + b)(b + c)(a + c) = 0
P = (a2004 - b2004)(b2005 + c2005)(c2006 - a2006)
= (a + b)(b + c)(a + c) = 0
tìm trc khi hỏi Câu hỏi của mai - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
Viết gọn lại, ta cần chứng minh:
\(\sum\left(a+b+\dfrac{1}{4}\right)^2\ge\sum4\left(\dfrac{1}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}\right)\)
\(\Leftrightarrow\sum\left(a+b+\dfrac{1}{4}\right)^2\ge\sum4\left(\dfrac{1}{\dfrac{a+b}{ab}}\right)=\sum\dfrac{4ab}{a+b}\)
Thật vậy, ta có:
\(\sum\left(a+b+\dfrac{1}{4}\right)^2\ge\sum\left(2\sqrt{\left(a+b\right).\dfrac{1}{4}}\right)^2=\sum a+b\)
Vậy ta cần chứng minh:
\(\sum a+b\ge\sum\dfrac{4ab}{a+b}\Leftrightarrow\sum\left(a+b\right)^2\ge\sum4ab\Leftrightarrow\sum\left(a-b\right)^2\ge0\)
Vậy ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi a=b=c
1) Áp dụng BĐT Cô si
ta có
\(\left(\sqrt{a+b}-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\forall a,b\inĐK\)
\(\Leftrightarrow a+b-2\sqrt{a+b}.\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}\ge0\)
\(\Leftrightarrow a+b+\dfrac{1}{4}\ge\sqrt{a+b}\)
vậy ĐPCM
Bài 2
Áp dụng bđt Cauchy ta có \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{2}{\sqrt{ab}}\Rightarrow\dfrac{1}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}\le\dfrac{\sqrt{ab}}{2}\)
Thiết lập tương tự và thu lại ta có:
\(\Rightarrow VP\le4\left(\dfrac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}}{2}\right)=2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)\left(1\right)\)
Áp dụng bđt Cauchy ta có \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow\left(a+b+\dfrac{1}{2}\right)^2\ge\left(2\sqrt{ab}+\dfrac{1}{2}\right)^2\ge2.2\sqrt{ab}.\dfrac{1}{2}=2\sqrt{ab}\)
Thiết lập tương tự và thu lại ta có:
\(\Rightarrow VT\ge2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)\left(2\right)\)
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow VT\ge VP\)
\(\Rightarrowđpcm\)