Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương ta có:
\((a+b)+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}\geq 3\sqrt[3]{\frac{4}{9}(a+b)}\)
\((b+c)+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}\geq 3\sqrt[3]{\frac{4}{9}(b+c)}\)
\((c+a)+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}\geq 3\sqrt[3]{\frac{4}{9}(c+a)}\)
Cộng theo vế và thu gọn:
\(\Rightarrow 2(a+b+c)+4\geq 3\sqrt[3]{\frac{4}{9}}(\sqrt[3]{a+b}+\sqrt[3]{b+c}+\sqrt[3]{c+a})\)
\(\Leftrightarrow 6\geq 3\sqrt[3]{\frac{4}{9}}(\sqrt[3]{a+b}+\sqrt[3]{b+c}+\sqrt[3]{c+a})\)
\(\Leftrightarrow \sqrt[3]{18}\geq \sqrt[3]{a+b}+\sqrt[3]{b+c}+\sqrt[3]{c+a}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
Áp dụng bđt thức svacxo: \(\frac{x_1^2}{y_1}+\frac{x_2^2}{y_2}\ge\frac{\left(x_1+x_2\right)^2}{y_1+y_2}\) (1)
CM bđt đúng: Áp dụng bđt bunhiacopxki, ta có: (với y1; y2 > = 0)
\(\left[\left(\frac{x_1}{\sqrt{y_1}}\right)^2+\left(\frac{x_2}{\sqrt{y_2}}\right)^2\right]\left[\left(\sqrt{y_1}\right)^2+\left(\sqrt{y_2}\right)^2\right]\ge\left(\frac{x_1}{\sqrt{y_1}}.\sqrt{y_1}+\frac{x_2}{\sqrt{y_2}}.\sqrt{y_2}\right)^2\)
\(\ge\left(x_1+x_2\right)^2\) => \(\frac{x_1^2}{y_1}+\frac{x_2^2}{y_2}\ge\frac{\left(x_1+x_2\right)^2}{y_1+y_2}\) (đpcm)
Ta có: \(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\) => \(\sqrt{a^2+b^2}\ge\sqrt{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}=\frac{a+b}{\sqrt{2}}\)(Vì a,b > = 0) (1)
CMTT: \(\sqrt{b^2+c^2}\ge\frac{b+c}{\sqrt{2}}\) (2)
\(\sqrt{c^2+a^2}\ge\frac{a+c}{\sqrt{2}}\) (3)
Từ (1) ; (2) và (3) ta có: \(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\ge\frac{a+b}{\sqrt{2}}+\frac{b+c}{\sqrt{2}}+\frac{a+c}{\sqrt{2}}\)
\(S\ge\frac{a+b+b+c+c+a}{\sqrt{2}}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}=\sqrt{18}\)(Đpcm)
Ta chứng minh BĐT Minkowski: \(\sqrt{m^2+n^2}+\sqrt{p^2+q^2}\ge\sqrt{\left(m+p\right)^2+\left(n+q\right)^2}\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\left(m^2+n^2\right)+\left(p^2+q^2\right)+2\sqrt{\left(m^2+n^2\right)\left(p^2+q^2\right)}\ge m^2+p^2+2mp+n^2+q^2+2nq\)\(\Leftrightarrow\left(m^2+n^2\right)\left(p^2+q^2\right)\ge\left(mp+nq\right)^2\)(đúng theo BĐT Cauchy-Schwarz)
Áp dụng, ta được: \(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\ge\sqrt{\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2}+\sqrt{c^2+a^2}\)\(\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(b+c+a\right)^2}=\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{18}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Mình làm hơi tắt nhé !
a, \(\left(5\sqrt{18}-3\sqrt{18}+4\sqrt{2}\right):\sqrt{2}\)
= \(5\sqrt{18:2}-3\sqrt{18:2}+4\sqrt{2:2}=15-9+4=10\)
b, \(\left(\sqrt{\dfrac{a^2}{d}}+\sqrt{\dfrac{b^2}{d}}-\sqrt{d}\right):\sqrt{d}\)
= \(\left(\sqrt{\dfrac{a^2}{d}}+\sqrt{\dfrac{b^2}{d}}-\sqrt{d}\right).\dfrac{1}{\sqrt{d}}=\dfrac{\sqrt{a^2}}{\sqrt{d}.\sqrt{d}}+\dfrac{\sqrt{b^2}}{\sqrt{d}.\sqrt{d}}-\dfrac{\sqrt{d}}{\sqrt{d}}=\dfrac{a}{d}+\dfrac{b}{d}-1\) = \(\dfrac{a+b}{d}-1\)
Gọi ... là P
Với \(a=b=c=\frac{3}{2}\Rightarrow P=\sqrt{5}\)
Ta sẽ chứng minh \(\sqrt{5}\) là GTNN của \(P\)
Áp dụng BĐT CAuchy-Schwarz ta có:
\(\sum_{cyc}\frac{\sqrt{a^2-1}}{a}=\sum_{cyc}\sqrt{1-\frac{1}{a^2}}\leq\sqrt{(1+1+1)\sum_{cyc}\left(1-\frac{1}{a^2}\right)}=\sqrt{3\sum_{cyc}\left(1-\frac{1}{a^2}\right)}\) (máy có vài ko công thức k xài được nên đành gõ = latex nên chữ hơi bé)
Tức là ta cần chứng minh \(3\sum_{cyc}\left(1-\frac{1}{a^2}\right)\leq5\)\(\Leftrightarrow \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq\frac{4}{3}.\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}a+b+c=3u\\ab+bc+ca=3v^2\\abc=\text{ }w^6\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow 9v^4-6uw^3\geq\frac{4}{3}w^6\)
Ta thừa biết \(a,b,c\) là 3 nghiệm dương của phương trình
\((x-a)(x-b)(x-c)=0\)
\(\Leftrightarrow x^3-3ux^2+3v^2x-w^3=0\)
\(\Leftrightarrow 3v^2x=-x^3+3ux^2+w^3\)
Vì vậy đường thẳng \(y=3v^2x\) và đồ thị \(y=-x^3+3ux^2+w^3\) có 3 điểm chung và khi đường thẳng \(y=3v^2x\) là một đường thẳng tiếp tuyến với đồ thị \(y=-x^3+3ux^2+w^3\) thì xảy ra trương hợp 2 biến bằng nhau (bình đẳng)
Khi đó \(b=a\) kết hợp với điều kiện suy ra\(c=\frac{27+36a}{32a^2-18}\)
Hay ta cần chứng minh \(a^4+2a^2\left(\frac{27+36a}{32a^2-18}\right)^2\geq\frac{4}{3}a^4\left(\frac{27+36a}{32a^2-18}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2(2a-3)^2(8a^2+12a+9)\geq0\) Luôn đúng