Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge-a-b-c\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}+a+b+c\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+a+\frac{1}{4}\right)+\left(b^2+b+\frac{1}{4}\right)+\left(c^2+c+\frac{1}{4}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+\frac{1}{2}\right)^2+\left(b+\frac{1}{2}\right)^2+\left(c+\frac{1}{2}\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy \(a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge-a-b-c\)
b ) chuyển vế tương tự
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(a^2+b^2=\frac{a^2}{1}+\frac{b^2}{1}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{1+1}=\frac{1^2}{2}=\frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)
Đẳng thức xảy ra <=> a = b
úi xin lỗi bài kia thiếu ._. Đẳng thức xảy ra <=> a=b=1/2 nhé
2. Ta có : a3 + b3 + ab = ( a + b )( a2 - ab + b2 ) + ab
= a2 - ab + b2 + ac = a2 + b2 ( do a+b=1 )
Sử dụng kết quả ở bài trước ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a=b=1/2
3. abc > 0 nên trog 3 số phải có ít nhất 1 số dương.
Vì nếu giả sử cả 3 số đều âm => abc < 0 => trái giả thiết
Vậy nên phải có ít nhất 1 số dương
Không mất tính tổng quát, giả sử a > 0
mà abc > 0 => bc > 0
Nếu b < 0, c < 0:
=> b + c < 0
Từ gt: a + b + c < 0
=> b + c > - a
=> (b + c)^2 < -a(b + c) (vì b + c < 0)
<=> b^2 + 2bc + c^2 < -ab - ac
<=> ab + bc + ca < -b^2 - bc - c^2
<=> ab + bc + ca < - (b^2 + bc + c^2)
ta có:
b^2 + c^2 >= 0
mà bc > 0 => b^2 + bc + c^2 > 0
=> - (b^2 + bc + c^2) < 0
=> ab + bc + ca < 0 (vô lý)
trái gt: ab + bc + ca > 0
Vậy b > 0 và c >0
=> cả 3 số a, b, c > 0
1.a, Ta có: \(\left(a+b\right)^2\ge4a>0\)
\(\left(b+c\right)^2\ge4b>0\)
\(\left(a+c\right)^2\ge4c>0\)
\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64abc\)
Mà abc=1
\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\ge8\left(đpcm\right)\)
\(a)\)
\(\frac{x^2+y^2+5}{2}\ge x+2y\)
\(\rightarrow\frac{x^2+y^2+5}{2}-x-2y\ge0\)
\(\rightarrow\frac{x^2+y^2-2x-4y+5}{2}\ge0\)
\(\rightarrow\frac{\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2-4y+4\right)}{2}\ge0\)
\(\rightarrow\frac{\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2}{2}\ge0\)
\(\rightarrow\hept{\begin{cases}\left(x-1\right)^2\ge0\\\left(y-2\right)^2\ge0\end{cases}}\)
\(\rightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2\ge0\)
\(\rightarrow\frac{\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2}{2}\ge0\)
Trước tiên chứng minh:
\(9\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
(nhân vô rút gọn chuyển hết sang trái được)
\(\Leftrightarrow a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b-6abc\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2b-2abc+c^2b\right)+\left(a^2c-2abc+b^2c\right)+\left(b^2a-2abc+c^2a\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a\sqrt{b}-c\sqrt{b}\right)^2+\left(a\sqrt{c}-b\sqrt{c}\right)^2+\left(b\sqrt{a}-c\sqrt{a}\right)^2\ge0\)(đúng)
Từ đây ta có:
\(9\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca\le\frac{9\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{8\left(a+b+c\right)}=\frac{9}{4\left(\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right)}\)
\(\le\frac{9}{4.3\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}=\frac{9}{4.3}=\frac{3}{4}\)
Vậy \(ab+bc+ca\le\frac{3}{4}\)