DH
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
21 tháng 7 2020
By Titu's Lemma we easy have:
\(D=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)
\(\ge\frac{\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}\)
\(=\frac{17}{4}\)
21 tháng 7 2020
Mk xin b2 nha!
\(P=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}+4xy=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}+4xy\)
\(\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+y^2+2xy}+\left(4xy+\frac{1}{4xy}\right)+\frac{1}{4xy}\)
\(\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+2\sqrt{4xy.\frac{1}{4xy}}+\frac{1}{\left(x+y\right)^2}\)
\(\ge\frac{4}{1^2}+2+\frac{1}{1^2}=4+2+1=7\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=\frac{1}{2}\)
TM
27 tháng 5 2017
Nhân cả 2 vế với a+b+c
Chứng minh \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\) tương tự với \(\frac{b}{c}+\frac{c}{b};\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\ge0\Leftrightarrow\frac{a^2-2ab+b^2}{ab}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\)luôn đúng do a;b>0
dễ rồi nhé
TM
27 tháng 5 2017
b) \(P=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\)
\(P=\left(\frac{x+1}{x+1}+\frac{y+1}{y+1}+\frac{z+1}{z+1}\right)-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
\(P=\left(1+1+1\right)-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
\(P=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
Áp dụng bđt Cauchy Schwarz dạng Engel (mình nói bđt như vậy,chỗ này bạn cứ nói theo cái bđt đề bài cho đi) ta được:
\(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x+1+y+1+z+1}=\frac{9}{4}\)
=>\(P=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\le3-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}\)
=>Pmax=3/4 <=> x=y=z=1/3
W
1
29 tháng 4 2018
We have : \(A=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}\)
By Cauchy - Schwarz and AM - GM have :
\(A\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a^2+b^2+2ab}+\frac{1}{2.\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{2}{\left(a+b\right)^2}=\frac{6}{\left(a+b\right)^2}\ge6\)
Then greatest posible of A is 6 when \(a=b=\frac{1}{2}\)
NT
Cho a,b,c > 0 thỏa mãn: a2+b2+c2=1
Tìm GTNN của C= \(\frac{bc}{a}\)+\(\frac{ac}{b}\)+\(\frac{ab}{c}\)
0
H
Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=3 Tìm GTNN của
\(P=\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\)
2
4 tháng 8 2020
Ta có:
\(\frac{a+1}{b^2+1}=a+1-\frac{\left(a+1\right)b^2}{b^2+1}\ge a+1-\frac{\left(a+1\right)b^2}{2b}=a+1-\frac{ab+b}{2}\)
Một cách tương ứng khi đó:
\(\Rightarrow P=a+b+c+3-\frac{ab+bc+ca+a+b+c}{2}\)
\(\ge a+b+c+3-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+a+b+c}{2}\)
\(=3+3-\frac{\frac{3^2}{3}+3}{2}=3\)
Đẳng thức xảy ra tại a=b=c=1
5 tháng 8 2020
sử dụng bđt Cosi ta có:
\(\frac{a+1}{b^2+1}=a+1-\frac{b^2\left(a-1\right)}{b^2+1}\ge a+1-\frac{b^2\left(a+1\right)}{2b}=a+1-\frac{b+ab}{2}\left(1\right)\)
chứng minh tương tự ta cũng được \(\hept{\begin{cases}\frac{b+1}{c^2+1}\ge b+1-\frac{c+bc}{2}\left(2\right)\\\frac{c+1}{a^2+1}\ge a+1-\frac{a+ca}{2}\left(3\right)\end{cases}}\)
từ (1)(2)(3) => \(\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\ge\frac{a+b+c}{2}+3-\frac{ab+bc+ca}{2}\)
mặt khác a2+b2+c2>= ab+bc+ca hay 3(ab+bc+ca) =< (a+b+c)2=9
do đó \(\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\ge\frac{a+b+c}{2}+3-\frac{ab+bc+ca}{2}=\frac{3}{2}+3-\frac{9}{6}=3\)
dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
1 tháng 12 2019
Dự đoán điểm rơi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Khi đó:
\(S=a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(=\left(a+b+c+\frac{1}{9a}+\frac{1}{9b}+\frac{1}{9c}\right)+8\left(\frac{1}{9a}+\frac{1}{9b}+\frac{1}{9c}\right)\)
\(\ge6\sqrt[6]{a\cdot b\cdot c\cdot\frac{1}{9a}\cdot\frac{1}{9b}\cdot\frac{1}{9c}}+24\sqrt[3]{\frac{1}{9a}\cdot\frac{1}{9b}\cdot\frac{1}{9c}}\)
\(=2+\frac{8}{3}\cdot\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}\ge2+\frac{8}{3}\cdot\frac{1}{\frac{a+b+c}{3}}\ge10\)
T
2 tháng 12 2019
Mù mắt với AM-GM cho 10 số:v
\(S=\left(a+b+c\right)+9\left(\frac{1}{9a}+\frac{1}{9b}+\frac{1}{9c}\right)\)\(\ge10\sqrt[10]{\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{9a}+\frac{1}{9b}+\frac{1}{9c}\right)^9}\)\(\ge10\sqrt[10]{\left(3\sqrt[3]{abc}\right)\left[3\sqrt[3]{\frac{1}{9^3abc}}\right]^9}=10\sqrt[10]{\left(3\sqrt[3]{abc}\right).\left[3^9\left(\frac{1}{9^3abc}\right)^3\right]}\)
\(=10\sqrt[10]{3^{10}.\frac{\sqrt[3]{abc}}{\left(3^6abc\right)^3}}=10\sqrt[10]{\frac{1}{3^8\sqrt[3]{\left(abc\right)^8}}}\ge10\sqrt[10]{\frac{1}{3^8\sqrt[3]{\left[\frac{\left(a+b+c\right)^3}{27}\right]^8}}}\ge10\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Vậy.....
6 tháng 4 2018
Nếu mọi người nhận ra sẽ thấy cái điều kiện a+b+c=3 ko liên quan tới p thì sao mà giải đề này sai rồi
16 tháng 11 2019
Cần CM: \(\frac{1}{a^2+b+c}=\frac{1}{a^2-a+3}\ge\frac{-1}{9}a+\frac{4}{9}\)
\(\Leftrightarrow\)\(a^3-5a^2+7a-3\le0\)\(\Leftrightarrow\)\(\left(a-3\right)\left(a-1\right)^2\le0\) ( đúng do \(0< a< 3\) )
\(\Rightarrow\)\(P\ge\frac{-1}{9}\left(a+b+c\right)+\frac{12}{9}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
4 tháng 10 2020
B1
Ta có
\(A=\frac{a^2}{24}+\frac{9}{a}+\frac{9}{a}+\frac{23a^2}{24}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^2}{24}.\frac{9}{a}.\frac{9}{a}+\frac{23a^2}{24}}\ge\frac{9}{2}+\frac{23.36}{24}\ge39\)
Dấu "=" xảy ra <=> a=6
Vậy Min A = 39 <=> a=6
KN
4 tháng 10 2020
\(A=a^2+\frac{18}{a}=a^2+\frac{216}{a}+\frac{216}{a}-\frac{414}{a}\ge3\sqrt[3]{a^2.\frac{216}{a}.\frac{216}{a}}-69=39\)
Đẳng thức xảy ra khi a = 6
Đầu tiên,ta chứng minh BĐT phụ \(\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\ge2xy\Leftrightarrow\frac{\left(x+y\right)^2-4xy}{2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng).Dấu "=" xảy ra khi x = y.
Và BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\).Áp dụng BĐT AM-GM(Cô si),ta có; \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\ge\frac{2}{\frac{\left(x+y\right)}{2}}=\frac{4}{x+y}\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y
\(P=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}\)\(\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}+\frac{1}{2ab}\)
\(\ge\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}\ge4+\frac{1}{\frac{1}{2}}=6\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b và a + b = 1 tức là a=b=1/2
Vậy Min P = 6 khi a = b = 1/2