Câu hỏi của Tình Nguyễn Thị

Question

cho A=2+2²+2³+.....+2⁶⁰

biết A chia hết cho 3 và 7, chứng minh A chia hết cho 105

Khánh Vy · Accepted Answer

$A=2+2^2+2^3+.....+2^{60}$

$A=\left(2+2^2\right)+\left(2^3+2^4\right)+......+\left(2^{59}+2^{60}\right)$

$A=2.\left(1+2\right)+2^3.\left(1+3\right)+....+2^{59}.\left(1+2\right)$

$A=2.3+2^3.3+....+2^{59}.3$

$A=3.\left(2+2^3+...+2^{59}\right)⋮3$

$\Rightarrow A⋮3$

Câu trả lời:

$A=2+2^2+2^3+.....+2^{60}$

$A=\left(2+2^2\right)+\left(2^3+2^4\right)+......+\left(2^{59}+2^{60}\right)$

$A=2.\left(1+2\right)+2^3.\left(1+3\right)+....+2^{59}.\left(1+2\right)$

$A=2.3+2^3.3+....+2^{59}.3$

$A=3.\left(2+2^3+...+2^{59}\right)⋮3$

$\Rightarrow A⋮3$

Nguyễn Linh Chi · Answer

Ta có : $A=2+2^2+2^3+2^4+...+2^{59}+2^{60}$

Từ 1 đến 60 có 60 số gồm 30 số chẵn 30 số lẻ

$A=\left(2+2^3+...+2^{57}+2^{59}\right)+\left(2^2+2^4+...+2^{58}+2^{60}\right)$

Ghép các cặp lại với nhau vừa đủ 15 cặp có số mũ lẻ và 15 cặp có số mũ chẵn

$A=\left[\left(2+2^3\right)+...+\left(2^{57}+2^{59}\right)\right]+\left[\left(2^2+2^4\right)+...+\left(2^{58}+2^{60}\right)\right]$

$A=\left[2\left(1+2^2\right)+...+2^{57}\left(1+2^2\right)\right]+\left[2^2\left(1+2^2\right)+...+2^{58}\left(1+2^2\right)\right]$

$A=\left[2.5+...+2^{57}.5\right]+\left[2^2.5+...+2^{58}.5\right]$chia hết cho 5

Mà 3, 5, 7 nguên tố cùng nhau, A chia hết 3, 5, 7 và 3.5.7=105

=> A chia hết cho 105