Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt M = (a^2+b^2-c^2)/2ab + (b^2+c^2-a^2)/2bc + c^2+a^2-b^2/2ca
Ta có M-1=\(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\frac{c^2+a^2-b^2}{2ac}-1.\)
=>M-1=\(\frac{c\left(a^2+b^2-c^2\right)+a\left(b^2+c^2-a^2\right)+b\left(c^2+a^2-b^2\right)-2abc}{2abc}\)
Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác => a2+b2\(\ge\)c2,b2+c2\(\ge\)a2,c2+a2\(\ge\)b2
Vậy M-1\(\ge\)0=> M\(\ge\)1(đpcm)
Lần sau em viết đề cẩn thận hơn nhé, dấu lớn hơn đúng ra phải là lớn hơn hoặc bằng và không có ẩn d.
Bài này sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz thôi (Nếu bạn chưa quen, thì xem lại phát biểu và chứng minh ở đây: http://olm.vn/hoi-dap/question/174274.html ).
Ta có \(\frac{a^2}{a^2+2bc}+\frac{b^2}{b^2+2ca}+\frac{c^2}{c^2+2ab}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a^2+2bc\right)+\left(b^2+2ca\right)+\left(c^2+2ab\right)}=1.\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c.\)
Bạn ghi đề sai ở dữ kiện \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=0\)
Vì điều đó tương đương với \(x=y=z=0\)
Tham khảo tại đây : Câu hỏi của Huỳnh Kim Bích Ngọc - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Đặt x = a - b ; y = b - c ; z = c - a thì x + y + z = a - b + b - c + c - a = 0
Ta có : \(\sqrt{\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{y^2}}\)
\(=(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y})^2-2(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx})\)
\(=(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2-2\frac{x+y+z}{xyz}\)
\(=(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2=(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a})^2(đpcm)\)
Chúc bạn học tốt
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)
\(\frac{ab+bc+ca}{abc}=0\)
\(ab+bc+ca=0\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}ab=-bc-ca\\bc=-ab-ca\end{cases},,,ca=-ab-bc}\)
\(\frac{a^2}{a^2+bc-ab-ca}=\frac{a^2}{a\left(a-b\right)-c\left(a-b\right)}=\frac{a^2}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}\)
tương tự
\(P=\frac{a^2}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{b^2}{\left(b-c\right)\left(b-a\right)}+\frac{c^2}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}\)
\(P=\frac{a^2\left(b-c\right)+b^2\left(a-c\right)+c^2\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left(c-b\right)}\)
có \(a^2\left(b-c\right)+b^2\left(a-c\right)+c^2\left(a-b\right)=\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left(c-b\right)\)
\(P=\frac{\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left(c-b\right)}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left(c-b\right)}=1\)