Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Bất đẳng thức đúng khi a = b = 2c
do đó \(\sqrt{c\left(2c-c\right)}+\sqrt{c\left(2c-c\right)}\le n\sqrt{2c.2c}\Leftrightarrow n\ge1\)
xảy ra khi n = 1
Thật vậy, ta có :
\(\sqrt{\frac{c}{b}.\frac{a-c}{a}}+\sqrt{\frac{c}{a}.\frac{b-c}{b}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{c}{b}+\frac{a-c}{a}+\frac{c}{a}+\frac{b-c}{b}\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\le\sqrt{ab}\)
Vậy n nhỏ nhất là 1
b) Ta có : a + b = \(\sqrt{\left(a+b\right)^2}\le\sqrt{\left(a+b\right)^2+\left(a-b\right)^2}=\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\)
Áp dụng, ta được : \(\sqrt{1}+\sqrt{n}\le\sqrt{2\left(n+1\right)},\sqrt{2}+\sqrt{n-1}\le\sqrt{2\left(1+n\right)},...\)
\(\sqrt{n}+\sqrt{1}\le\sqrt{2\left(1+n\right)};\sqrt{n-1}+\sqrt{2}\le\sqrt{2\left(1+n\right)},...\)
\(\sqrt{1}+\sqrt{n}\le\sqrt{2\left(1+n\right)}\)
do đó : \(4\left(\sqrt{1}+\sqrt{2}+...+\sqrt{n}\right)\le2n\sqrt{2\left(1+n\right)}\)
\(\Rightarrow\sqrt{1}+\sqrt{2}+...+\sqrt{n}\le n\sqrt{\frac{n+1}{2}}\)
Ta có
\(\sum\dfrac{a}{a+\sqrt{2019a+bc}}=\sum\dfrac{a}{a+\sqrt{a^2+a\left(b+c\right)+bc}}\)
Áp dụng AM - GM : \(b+c\ge2\sqrt{bc}\)
\(\Rightarrow\sum\dfrac{a}{a+\sqrt{a^2+a\left(b+c\right)+bc}}\le\dfrac{a}{a+\sqrt{a^2+2a\sqrt{bc}+bc}}\)
\(=\sum\dfrac{a}{a+\sqrt{\left(a+\sqrt{bc}\right)^2}}=\sum\dfrac{a}{a+a+\sqrt{bc}}\)
Tự làm tiếp
Áp dụng BĐT: \(\left(x+y+z\right)^2\le3\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
Ta có: \(\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)=9\)
\(\Rightarrow0\le a+b+c\le3\) ( vì a,b,c > 0 ) (Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.)
\(\Rightarrow0\le a+b\le3-c\) (1)
Đặt \(A=\frac{1}{4-\sqrt{ab}}+\frac{1}{4-\sqrt{bc}}+\frac{1}{4-\sqrt{ca}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2}A=\frac{1}{8-2\sqrt{ab}}+\frac{1}{8-2\sqrt{bc}}+\frac{1}{8-2\sqrt{ca}}\)
Áp dụng Côsi cho hai số dương a, b ta được:
\(2\sqrt{ab}\le a+b\Rightarrow8-2\sqrt{ab}\ge8-\left(a+b\right)\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra
Bài 1:
Xét số hạng tổng quát \(\frac{1}{\sqrt{2k+1}+\sqrt{2k+3}}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{2k+3}-\sqrt{2k+1}\right)\) (với k thuộc N)
Áp dụng vào \(P=\frac{1}{2}\left(\sqrt{3}-1+\sqrt{5}-\sqrt{3}+...+\sqrt{25}-\sqrt{23}\right)=\frac{1}{2}\left(\sqrt{25}-1\right)=2\)
Bài 2: BđT \(\Leftrightarrow\sqrt{b}-\sqrt{a}< \sqrt{b+c}-\sqrt{a+c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{b-a}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}< \frac{b-a}{\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}}\Leftrightarrow\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}>\frac{a-b}{\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}}\)
Điều này đúng do a > b nên a - b > 0. Mặt khác \(\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}>\sqrt{a}+\sqrt{b}\) (áp dụng tính chất \(\sqrt{a}< \sqrt{a+m}\left(\text{chị tự chứng minh}\right)\text{với a, m}\ge0\)
Ta có \(\sum\limits^{ }_{sym}\sqrt{\dfrac{a^4+b^4}{1+ab}}=\sum\limits^{ }_{sym}\sqrt{\dfrac{2\left(a^4+b^4\right)}{2+2ab}}\ge\sum\limits^{ }_{cyc}\dfrac{a^2}{\sqrt{2+2ab}}+\sum\limits^{ }_{cyc}\dfrac{b^2}{\sqrt{2+2ab}}\)
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và AM-GM ta có:
\(\sum\limits^{ }_{cyc}\dfrac{b^2}{\sqrt{2+2ab}}\ge\dfrac{3}{2}\)
Cộng hai bất đẳng thức ta được:
\(\sqrt{\dfrac{a^4+b^4}{1+ab}}+\sqrt{\dfrac{b^4+c^4}{1+bc}}+\sqrt{\dfrac{c^4+a^4}{1+ac}}\ge3\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)
\(HELP\)\(MEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE\)
Ta có: \(a=b^mc^m;\)\(b=c^na^n;\)\(c=a^pb^p\)
Gia sử cả 3 số a, b, c đã cho đều khác 1
\(a=b^mc^m=\left(c^na^n\right)^m\left(a^pb^p\right)^m=a^{mn+pm}b^{mp}c^{mn}=a^{mn+pm}\left(c^na^n\right)^{mp}\left(a^pb^p\right)^{mn}\)
\(=a^{mn+np+2mnp}c^{mnp}b^{mnp}=a^{mn+np+2mnp}\left(b^mc^m\right)^{np}=a^{mn+np+mp+2mnp}\)
Vì \(0< a\ne1\)và m, n, p là những số nguyên dương lớn hơn 1 nên không thể \(mn+np+mp+2mnp=1\)
=> điều giả sử là sai hay trong 3 số a, b, c phải có ít nhất 1 số bằng 1