Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Thay a+b+c=2017 vào \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2017}\) ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{a+b+c}=0\)
\(\Rightarrow\frac{a+b}{ab}+\frac{a+b+c-c}{c\left(a+b+c\right)}=0\)\(\Rightarrow\frac{a+b}{ab}+\frac{a+b}{c\left(a+b+c\right)}=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{c\left(a+b+c\right)}\right)=0\)\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{c\left(a+b+c\right)+ab}{abc\left(a+b+c\right)}\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{c\left(b+c\right)+ca+ab}{abc\left(a+b+c\right)}\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left[c\left(b+c\right)+ca+ab\right]=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left[c\left(b+c\right)+a\left(b+c\right)\right]=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)
\(\Rightarrow\)\(a+b=0\) hoặc \(b+c=0\) hoặc \(c+a=0\)
\(\Rightarrow\)\(c=2017\)hoặc \(a=2017\) hoặc \(b=2017\left(đpcm\right)\)
Lời giải:
Từ điều kiện đề bài suy ra:
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$
$\Leftrightarrow \frac{a+b}{ab}+\frac{1}{c}-\frac{1}{a+b+c}=0$
$\Leftrightarrow \frac{a+b}{ab}+\frac{a+b}{c(a+b+c)}=0$
$\Leftrightarrow (a+b)(\frac{1}{ab}+\frac{1}{c(a+b+c)})=0$
$\Leftrightarrow (a+b).\frac{ab+c(a+b+c)}{abc(a+b+c)}=0$
$\Leftrightarrow (a+b).\frac{(c+a)(c+b)}{abc(a+b+c)}=0$
$\Rightarrow (a+b)(c+a)(c+b)=0$
$\Rightarrow (1-c)(1-b)(1-a)=0$
$\Rightarrow 1-c=0$ hoặc $1-b=0$ hoặc $1-a=0$
$\Leftrightarrow a=1$ hoặc $b=1$ hoặc $c=1$ (đpcm)
Câu hỏi của 『-Lady-』 - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Tham khảo ở link trên nha
b) \(\left(1+a\right).\frac{1}{1+b^2}=\left(1+a\right)\left(1-\frac{b^2}{1+b^2}\right)\)
\(\ge\left(1+a\right)\left(1-\frac{b^2}{2b}\right)=1+a-\frac{ab+b}{2}\)
Thiết lập hai BĐT còn lại tương tự và cộng theo vế được:
\(VT\ge6-\frac{ab+bc+ca+3}{2}\ge6-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+3}{2}\)
\(=6-\frac{3+3}{2}=3^{\left(đpcm\right)}\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1
Sửa lại đề : CM : \(\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{c^2+a^2}\le\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}+3\)
Ta có :
\(\frac{1}{b^2+c^2}=\frac{a^2+b^2+c^2}{b^2+c^2}=\frac{b^2+c^2}{b^2+c^2}+\frac{a^2}{b^2+c^2}=1+\frac{a^2}{b^2+c^2}\)
Mà \(b^2+c^2\ge2bc\) nên \(\frac{1}{b^2+c^2}\le1+\frac{a^2}{2bc}\)(1)
CM tương tự ta cũng có : \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{a^2+b^2}\le1+\frac{c^2}{2ab}\left(2\right)\\\frac{1}{c^2+a^2}\le1+\frac{b^2}{c^2+a^2}\left(3\right)\end{cases}}\)
Cộng vế với vế của (1);(2);(3) tại ta được :
\(\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{c^2+a^2}\le\frac{a^2}{2bc}+\frac{c^2}{2ab}+\frac{b^2}{2ac}+3=\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}+3\)
=> đpcm
a, Vì a,b,c dương nên : \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\) (1)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\) (2)
Nhân vế theo vế 1 và 2 ta có : \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\sqrt[3]{\frac{abc}{abc}}=9\)
Mà a+b+c=1 nên \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9\)