Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có \(\left(a+b+c\right)^3=a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
Nên ta cần CM \(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac\ge a^3+b^3+c^3\)
Theo đề bài ta có
\(a\left(a-1\right)\left(a-2\right)\le0\)=> \(a^3\le3a^2-2a\)
Tương tự với b,c => \(a^3+b^3+c^3\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)-2\left(a+b+c\right)\)
\(\left(a-2\right)\left(b-2\right)\ge0\)=> \(ab\ge2\left(a+b\right)-4\)
Tương tự => \(ab+bc+ac\ge4\left(a+b+c\right)-12\)
Khi đó BĐT <=>
\(a^2+b^2+c^2+4\left(a+b+c\right)-12\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)-2\left(a+b+c\right)\)
<=> \(3\left(a+b+c\right)\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)-6\)
<=>\(\left(a-1\right)\left(a-2\right)+\left(b-1\right)\left(b-2\right)+\left(c-1\right)\left(c-2\right)\le0\)(luôn đúng với giả thiết)
Dấu bằng xảy ra khi \(\left(a,b,c\right)=\left(2;2;2\right),\left(2;2;1\right),....\)và các hoán vị
Ta có \(\left(a+b+c\right)^3=a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
Nên \(BĐT\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\ge a^3+b^3+c^3\)
Ta có \(a\left(a-2\right)\left(a-1\right)\le0\Leftrightarrow a^3\le3a^2-2a\)
Tương ta ta có: \(b^3\le3b^2-2b;c^3\le3c^2-2c\)
Cộng từng vế của các bđt trên: \(a^3+b^3+c^3\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)-2\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3\le a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\)
\(+2\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ab+bc+ca\right)-2\left(a+b+c\right)\)
Đặt \(\)\(K=2\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ab+bc+ca\right)-2\left(a+b+c\right)\)
Ta lại có
\(\left(a-1\right)\left(a-2\right)\le0\Leftrightarrow a^2\le3a-2\)
Tương tự \(b^2\le3b-2;c^2\le3c-2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\le3\left(a+b+c\right)-6\)(1)
\(\left(a-2\right)\left(b-2\right)\ge0\Leftrightarrow ab\ge2a+2b-4\)
Tương tự \(bc\ge2b+2c-4;ca\ge2c+2a-4\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\ge4\left(a+b+c\right)-12\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(K\le6\left(a+b+c\right)-12-2\left(a+b+c\right)\)
\(-\left[4\left(a+b+c\right)-12\right]=0\)
\(K\le0\Rightarrow a^3+b^3+c^3\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)-2\left(a+b+c\right)\)
\(\le a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\)
hay \(\text{Σ}_{cyc}a^2+\text{Σ}_{cyc}ab+3\text{Σ}_{cyc}\left(a+b\right)\ge\left(a+b+c\right)^3\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left(a,b,c\right)\in\left(2;2;1\right)\)và các hoán vị hoặc \(a=b=c=2\)
mấy bài cơ bản nên cũng dễ, mk có thể giải hết cho bn vs 1 đk : bn đăng từng câu 1 thôi nhé !
bài 3 có thể lên gg tìm kỹ thuật AM-GM (cosi) ngược dấu
bài 8 c/m bđt phụ 5b3-a3/ab+3b2 </ 2b-a ( biến đổi tương đương)
những câu còn lại 1 nửa dùng bđt AM-GM , 1 nửa phân tích nhân tử ròi dựa vào điều kiện
1) Áp dụng bất đẳng Bunyakovsky dạng cộng mẫu ta có:
\(\frac{a^5}{bc}+\frac{b^5}{ca}+\frac{c^5}{ab}=\frac{a^6}{abc}+\frac{b^6}{abc}+\frac{c^6}{abc}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{3abc}\)
\(=\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)}{3abc}\ge\frac{3abc\left(a^3+b^3+c^3\right)}{3abc}=a^3+b^3+c^3\)
(Cauchy 3 số) Dấu "=" xảy ra khi: a = b = c
2) Áp dụng kết quả phần 1 ta có:
\(\frac{a^5}{bc}+\frac{b^5}{ca}+\frac{c^5}{ab}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{3abc}\ge\frac{\left(a^3+b^2+c^3\right)^2}{3\cdot\frac{1}{3}}=\left(a^3+b^3+c^3\right)^2\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\)
\(-1\le a\le2\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+1\ge0\\a-2\le0\end{cases}\Rightarrow\left(a+1\right)\left(a-2\right)\le0}\)
Tương tự \(\left(b+1\right)\left(b-2\right)\le0,\left(c+1\right)\left(c-2\right)\le0\)
=> (a+1)(a-2)+(b+1)(b-2)+(c+1)(c-2)\(\le\)0 => a2+b2+c2-(a+b+c)-6\(\le\)0
=>a2+b2+c2 \(\le\)6
Dấu "=" xảy ra <=> (a+1)( a-2)=0, (b+1)(b-2)=0, (c+1)(c-2)=0 , a+b+c=0 <=> a=2, b=c=-1 và các hoán vị
2a)với a,b,c là các số thực ta có
\(a^2-ab+b^2=\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2\ge\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{a^2-ab+b^2}\ge\sqrt{\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2}=\frac{1}{2}\left|a+b\right|\)
tương tự \(\sqrt{b^2-bc+c^2}\ge\frac{1}{2}\left|b+c\right|\)
tương tự \(\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge\frac{1}{2}\left|a+c\right|\)
cộng từng vế mỗi BĐT ta được \(\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{2}=a+b+c\)
dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
Ta có: \(ab+bc+ca+abc=4\)
\(\Leftrightarrow abc+2\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+8\)\(=12+\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)\)\(=\left(a+2\right)\left(b+2\right)+\left(b+2\right)\left(c+2\right)+\left(c+2\right)\left(a+2\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}=1\Leftrightarrow\frac{2}{a+2}+\frac{2}{b+2}+\frac{2}{c+2}=2\)
\(\Leftrightarrow3-\left(\frac{2}{a+2}+\frac{2}{b+2}+\frac{2}{c+2}\right)=1\)\(\Leftrightarrow\frac{a}{a+2}+\frac{b}{b+2}+\frac{c}{c+2}=1\)
Đặt \(x=\frac{a}{a+2};y=\frac{b}{b+2};z=\frac{c}{c+2}\). Khi đó x + y + z = 1 và \(\frac{1}{x}=\frac{a+2}{a}=1+\frac{2}{a}\)
\(\Rightarrow\frac{2}{a}=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}=\frac{y+z}{x}\Rightarrow a=\frac{2x}{y+z}\)
Hoàn toàn tương tự, ta có: \(b=\frac{2y}{z+x};c=\frac{2z}{x+y}\)
Lúc đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
\(\sqrt{\frac{2x}{y+z}.\frac{2y}{z+x}}+\sqrt{\frac{2y}{z+x}.\frac{2z}{x+y}}+\sqrt{\frac{2z}{x+y}.\frac{2x}{y+z}}\le3\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{\frac{x}{y+z}.\frac{y}{z+x}}+2\sqrt{\frac{y}{z+x}.\frac{z}{x+y}}+2\sqrt{\frac{z}{x+y}.\frac{x}{y+z}}\le3\)
Theo BĐT AM - GM, ta có: \(2\sqrt{\frac{x}{y+z}.\frac{y}{z+x}}\le\frac{y}{y+z}+\frac{x}{z+x}\)(1)
Tương tự: \(2\sqrt{\frac{y}{z+x}.\frac{z}{x+y}}\le\frac{z}{z+x}+\frac{y}{x+y}\)(2) ;\(2\sqrt{\frac{z}{x+y}.\frac{x}{y+z}}\le\frac{x}{x+y}+\frac{z}{y+z}\)(3)
Cộng theo vế của (1), (2), (3), ta được: \(2\sqrt{\frac{x}{y+z}.\frac{y}{z+x}}+2\sqrt{\frac{y}{z+x}.\frac{z}{x+y}}+2\sqrt{\frac{z}{x+y}.\frac{x}{y+z}}\)\(\le\left(\frac{x}{x+y}+\frac{y}{x+y}\right)+\left(\frac{y}{y+z}+\frac{z}{y+z}\right)+\left(\frac{z}{z+x}+\frac{x}{z+x}\right)=3\)
Vậy bài toán được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)hay a = b = c = 1.
Đặt \(a=\frac{1}{x},\text{ }b=\frac{1}{y},\text{ }c=\frac{1}{z}\Rightarrow x+y+z+1=4xyz\Leftrightarrow r=\frac{p+1}{4}\)
Cần chứng minh: \(\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{zx}}\le3\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le3\sqrt{xyz}\)
\(\Leftrightarrow x+y+z+2\Sigma\sqrt{xy}\le9xyz\)
\(\Leftrightarrow4\left(p+2\Sigma\sqrt{xy}\right)\le9\left(p+1\right)\)
\(\Leftrightarrow8\Sigma\sqrt{xy}\le5p+9\) (1)
Ta có: \(t^2+u^2+v^2+2tuv+1\ge2\left(tu+uv+tv\right)\) (quen thuộc, trên mạng chắc có)
Vì vậy: \(x+y+z+2\sqrt{xyz}+1\ge2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)\)
Hay là: \(4\left(p+2\sqrt{xyz}+1\right)\ge8\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)\) (2)
Từ (1) và (2) ta chứng minh: \(4\left(p+2\sqrt{r}+1\right)\le5p+9\)
\(\Leftrightarrow4p+4\sqrt{\left(p+1\right)}+4\le5p+9\)
\(\Leftrightarrow\left(p-3\right)^2\ge0\). Xong.
a³ + b³ + c³ - 3abc = (a+b+c)(a²+b²+c² -ab-bc-ca) ; thay giả thiết a+b+c = 3 ta có:
a³+b³+c³ = 3(a²+b²+c² -ab-bc-ca + abc) (1)
* từ giả thiết 0 ≤ a, b, c ≤ 2 => (2-a)(2-b)(2-c) ≥ 0
⇔ 8 -4a-4b-4c + 2ab+2bc+2ca -abc ≥ 0 (lại thay a+b+c = 3)
⇒ abc ≤ 2ab+2bc+2ca - 4 (2)
Dấu '=' khi có 1 số = 2
thay (1) vào (2) ta có:
a³+b³+c³ ≤ 3(a²+b²+c² +ab+bc+ca - 4) = 3[(a+b+c)² - ab-bc-ca -4] = 3(5-ab-bc-ca) (3)
Mặt khác cũng từ (2) ta có: 2(ab+bc+ca) ≥ abc+4 ≥ 4
⇒ -ab-bc-ca ≤ -2 (dấu "=" khi có 1 số = 0) thay vào (3) ta có
a³+b³+c³ ≤ 3(5-ab-bc-ca) ≤ 9 (đpcm)
Mới lớp 8 nên không hiểu biết rộng về lớp 9 sai bỏ qua
Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(x-1;y-1;z-1\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}0\le x;y;z\le3\\x+y+z=3\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(ab+bc+ca=\left(x-1\right)\left(y-1\right)+\left(y-1\right)\left(z-1\right)+\left(z-1\right)\left(x-1\right)\)
\(=xy+yz+zx-2\left(x+y+z\right)+3=xy+yz+zx-3\)
Do \(x;y;z\ge0\Rightarrow xy+yz+zx\ge0\)
\(\Rightarrow xy+yz+zx-3\ge-3\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;3\right)\) và hoán vị hay \(\left(a;b;c\right)=\left(-1;-1;2\right)\) và hoán vị