NQ
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
30 tháng 9 2019
Mình ko chắc lắm :
Áp dụng BĐT AM - GM ta có :
\(M=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)\)
\(=\frac{x^2y^2+1}{y^2}.\frac{x^2y^2+1}{x^2}=\frac{x^4y^4+2x^2y^2+1}{x^2y^2}\)
\(=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2=x^2y^2+\frac{1}{256x^2y^2}+\frac{255}{256x^2y^2}+2\)
\(\ge2\sqrt{x^2y^2.\frac{1}{256x^2y^2}}+\frac{255}{256.\left(xy\right)^2}+2\)
\(\ge2.\frac{1}{16}+\frac{255}{256.\left(\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\right)^2}+2\)
\(=\frac{1}{8}+\frac{255}{256.\left(\frac{1}{4}\right)^2}+2=\frac{289}{16}\)
Khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
Chúc bạn học tốt !!!
TN
30 tháng 6 2017
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(A=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)
\(\ge\frac{\left(x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\ge\frac{\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}\)
\(=\frac{\left(1+4\right)^2}{2}=\frac{5^2}{2}=\frac{25}{2}\)
Xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
DK
1
HP
30 tháng 1 2017
cần lưu ý 2 bđt sau :(a,b>0) 1/a + 1/b >= 4/(a+b) , (a+b)2 >= 4ab (dâu1 "=" khi a=b)
có x+y=1 =>(x+y)2=1=>x2+y2=1-2xy
A=1/1-2xy + 1/2xy + 1/2xy >= 4/1-2xy+2xy + 2/4xy >= 4+2/(x+y)2 >= 6
Dấu "=" khi x=y=1/2
MD
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 4 2022
\(P=\left(2x+\dfrac{1}{x}\right)^2+9+\left(2y+\dfrac{1}{y}\right)^2+9-18\)
\(P\ge2\sqrt{9\left(2x+\dfrac{1}{x}\right)^2}+2\sqrt{9\left(2y+\dfrac{1}{y}\right)^2}-18\)
\(P\ge12x+12y+\dfrac{6}{x}+\dfrac{6}{y}-18\)
\(P\ge6\left(4x+\dfrac{1}{x}\right)+6\left(4y+\dfrac{1}{y}\right)-12\left(x+y\right)-18\)
\(P\ge6.2\sqrt{\dfrac{4x}{x}}+6.2\sqrt{\dfrac{4y}{y}}-12.1-18=18\)
\(P_{min}=18\) khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)
UP
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 2 2022
\(\left(x-y\right)^2\ge0;\forall xy\Rightarrow x^2+y^2\ge2xy\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\Rightarrow x+y\ge2\sqrt{xy}\)
\(\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge\dfrac{2}{xy}\Rightarrow xy\ge4\Rightarrow x+y\ge2\sqrt{xy}\ge2\sqrt{4}=4\)
\(C_{min}=4\) khi \(x=y=2\)
Hoặc là:
\(\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\ge\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{4}{x+y}\right)^2=\dfrac{8}{\left(x+y\right)^2}\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge16\Rightarrow x+y\ge4\)
24 tháng 5 2022
\(x,y,z>0\)
Áp dụng BĐT Caushy cho 3 số ta có:
\(x^3+y^3+z^3\ge3\sqrt[3]{x^3y^3z^3}=3xyz\ge3.1=3\)
\(P=\dfrac{x^3-1}{x^2+y+z}+\dfrac{y^3-1}{x+y^2+z}+\dfrac{z^3-1}{x+y+z^2}\)
\(=\dfrac{\left(x^3-1\right)^2}{\left(x^2+y+z\right)\left(x^3-1\right)}+\dfrac{\left(y^3-1\right)^2}{\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)}+\dfrac{\left(z^3-1\right)^2}{\left(x+y+z^2\right)\left(x^3-1\right)}\)
Áp dụng BĐT Caushy-Schwarz ta có:
\(P\ge\dfrac{\left(x^3+y^3+z^3-3\right)^2}{\left(x^2+y+z\right)\left(x^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)}\)
\(\ge\dfrac{\left(3-3\right)^2}{\left(x^2+y+z\right)\left(x^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)}=0\)
\(P=0\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Vậy \(P_{min}=0\)
21 tháng 2 2017
Phần này chug: áp dụng Cauchy có: \(a+b\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow ab\le\left(\frac{a+b}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\)
a) \(A=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{xy}\ge\frac{1}{\frac{1}{4}}=4\)
b) Áp dụng BĐT Schwart có: \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}=\left(a+b\right)^2\)
c) đề câu này là \(x+\frac{1}{x}\)hay \(\frac{x+1}{x}\)vậy em?
DT
1
SS
22 tháng 1 2022
Áp dụng Bất Đẳng Thức Trung Bình Cộng Và Trung Bình Nhân,ta có:
A=\(\left(\frac{x+1}{x}\right)^2+\left(\frac{y+1}{y}\right)^2\ge\frac{\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x+1}{x}\right)^2+\left(\frac{y+1}{x}\right)^2\ge\frac{\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}\)
Thay x+y=1 vào biểu thức \(\frac{\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}\)Ta được:
\(\frac{\left(1+4\right)^2}{2}=\frac{25}{2}\)
Vậy GTNN của A=\(\left(\frac{x+1}{x}\right)^2+\left(\frac{y+1}{y}\right)^2\)là \(\frac{25}{2}\)