Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Từ gt, ta có \(\left(xyz\right)^2=\left[x\left(1-x\right)\right]\left[y\left(1-y\right)\right]\left[z\left(1-z\right)\right]\)
Sử dụng BĐT AM-GM dạng \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\), ta có:
\(x\left(1-x\right)\le\frac{1}{4};y\left(1-y\right)\le\frac{1}{4};z\left(1-z\right)\le\frac{1}{4}\)
Nhân các bđt trên lại theo vế =. \(\left(xyz\right)^2\le\frac{1}{64}\)hay \(xyz\le\frac{1}{8}\)
Gọi A là số lớn nhất trong các số x(1-y);y(1-z); z(1-y)
khi đó từ gt, ta có:
\(3A\ge x\left(1-y\right)+y\left(1-z\right)+z\left(1-x\right)\)
\(=1-xyz-\left(1-x-y-z+xy+yz+zx-xyz\right)\)
\(=1-xyz-\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\)
\(=1-2xyz\ge\frac{3}{4}\)
từ các đánh giá trên => \(A\ge\frac{1}{4}\)
=> đpcm
Bài 1: Cho ba số x,y,z khác 0 thỏa mãn:
{xyz=11x+1y+1z<x+y+z{xyz=11x+1y+1z<x+y+z
Chứng minh rằng có đúng một trong ba số x,y,z lớn hơn 1.
{xyz=11x+1y+1z<x+y+z⇔{xyz=1xyz(1x+1y+1z)<x+y+z{xyz=11x+1y+1z<x+y+z⇔{xyz=1xyz(1x+1y+1z)<x+y+z
⇔{xyz=1xy+yz+zx<x+y+z⇔{xyz=1x+y+z−(xy+yz+zx)>0⇔{xyz=1xy+yz+zx<x+y+z⇔{xyz=1x+y+z−(xy+yz+zx)>0
Xét tích:
(x−1)(y−1)(z−1)=xyz−(xy+yz+zx)+(x+y+z)−1=x+y+z−(xy+yz+zx)>0⇒(x−1)(y−1)(z−1)>0(x−1)(y−1)(z−1)=xyz−(xy+yz+zx)+(x+y+z)−1=x+y+z−(xy+yz+zx)>0⇒(x−1)(y−1)(z−1)>0
Vậy trong 3 số x,y,zx,y,z có 1 số lớn hơn 1, 2 số nhỏ hơn 1 hoặc cả 3 số lớn hơn 1
Tuy nhiên, nếu x,y,z>1⇒xyz>1x,y,z>1⇒xyz>1. Mâu thuẫn với gt
Vậy ta có ĐPCM
Bài 1:
Đặt a=x-1; b=y-1; c=z-1. Khi đó a;b;c\(\in\)[-1;1], a+b+c=0 và
\(P=\left(a+1\right)^3+\left(b+1\right)^3+\left(c+1\right)^3-3abc\)
\(=a^3+b^3+c^3-3abc+3\left(a^2+b^2+c^2\right)+3\left(a+b+c\right)+3\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)+3\left(a^2+b^2+c^2\right)+3\left(a+b+c\right)+3\)
\(=3\left(a^2+b^2+c^2\right)+3\)
Ta có: \(0\le a^2+b^2+c^2\le2\)
Từ đây ta dễ thấy Min P=3 đạt được khi x=y=z=1
Ta xét tống T của 3 số x(1-y);y(1-x);z(1-x)
Ta có T=x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)=x+y+z-xy-xz-yz
Theo giả thiết xyz=(1-x)(1-y)(1-z)=1-(x+y+z-xy-xz-yz)-xyz
=> 2xyz=1-T => T=1-2xyz
Nhưng x2y2z2 =[x(1-x)][y(1-y)][z(1-z)]\(\le\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{64}\)
=> xyz\(\le\)\(\frac{1}{8}\Rightarrow2xy\le\frac{1}{4}\)
Vậy \(T\ge1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)
Vậy \(T\ge\frac{3}{4}\)nên trong 3 số x(1-x), y(1-y), z(1-z) có ít nhất một trong 3 số đó \(\ge\frac{1}{4}\left(đpcm\right)\)
Từ x+y+z=3 ta có:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\)
\(\frac{\Leftrightarrow xy+yz+zx}{xyz}=\frac{1}{x+y+z}\)
Nhân chéo ta có:
\(\left(xy+yz+zx\right)\left(x+y+z\right)=xyz\)
\(\Leftrightarrow x^2y+xyz+x^2z+y^2x+y^2z+xyz+xyz+z^2y+z^2x=xyz\)
\(\Leftrightarrow x^2y+x^2z+y^2z+y^2x+z^2x+z^2y+2xyz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2y+x^2z+y^2x+xyz\right)+\left(y^2z+z^2x+z^2y+xyz\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(xy+xz+y^2+yz\right)+z\left(xy+xz+y^2+yz\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+z\right)\left(xy+xz+y^2+yz\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+z\right)\left[\left(xy+y^2\right)+\left(xz+yz\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+z\right)\left[y\left(x+y\right)+z\left(x+y\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+z\right)\left(y+z\right)\left(x+y\right)=0\)
Suy ra x+z=0 hoặc y+z=0 hoặc x+y=0
Với x+z=0 ta đc y=3
Với y+z=0 ta đc x=3
Với x+y=0 ta đc z=3
Từ đó suy ra đccm
\(x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
\(\Leftrightarrow\)\(x+y+z=\frac{xy+yz+xz}{xyz}\)
\(\Leftrightarrow\)\(x+y+z=xy+yz+xz\) (vì xyz = 1 )
Ta có: \(\left(xyz-1\right)+\left(x+y+z\right)-\left(xy+yz+xz\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(xyz-xy\right)-\left(xz-x\right)-\left(yz-y\right)+\left(z-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(xy\left(z-1\right)-x\left(z-1\right)-y\left(z-1\right)+\left(z-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(z-1\right)\left(x-1\right)\left(y-1\right)=0\) (mk lm hơi tắt, thông cảm)
\(\Leftrightarrow\) \(x-1=0\) \(\Leftrightarrow\) \(x=1\)
hoặc \(y-1=0\) \(\Leftrightarrow\) \(y=1\)
hoặc \(z-1=0\) \(\Leftrightarrow\) \(z=1\)
Vậy....
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{x+y+z}-\frac{1}{z}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}=\frac{-x-y}{\left(x+y+z\right)z}\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{\left(x+y+z\right)z}\right)=0\)
\(+,x+y=0\Rightarrow x=-y\Rightarrow\text{đpcm}\)
\(+,\frac{1}{xy}+\frac{1}{\left(x+y+z\right)z}=0\Leftrightarrow\frac{xy+xz+yz+z^2}{xyz\left(x+y+z\right)}=0\Leftrightarrow\frac{x\left(y+z\right)+z\left(z+y\right)}{xyz\left(x+y+z\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(y+z\right)^2}{xyz\left(x+y+z\right)}=0\Rightarrow y+z=0\Rightarrow z=-y\Rightarrow\text{đpcm}\)
\(\text{Vậy ta có điều phải chứng minh }\)