Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Ta có:
\(A=\frac{9x}{2-x}+\frac{2}{x}=\frac{-9(2-x)+18}{2-x}+\frac{2}{x}\)
\(=-9+\frac{18}{2-x}+\frac{2}{x}\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(\left(\frac{18}{2-x}+\frac{2}{x}\right)(2-x+x)\geq (\sqrt{18}+\sqrt{2})^2\)
\(\Rightarrow \frac{18}{2-x}+\frac{2}{x}\geq\frac{(\sqrt{18}+\sqrt{2})^2}{2}=16\)
Do đó: \(A\geq -9+16=7=A_{\min}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{\sqrt{18}}{2-x}=\frac{\sqrt{2}}{x}\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)
\(A=\dfrac{9x}{2-x}+\dfrac{2}{x}=\dfrac{9x}{2-x}+\dfrac{2-x+x}{x}=\dfrac{9x}{2-x}+\dfrac{2-x}{x}+1\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương , ta có :
\(\dfrac{9x}{2-x}+\dfrac{2-x}{x}\) ≥ \(2\sqrt{\dfrac{9x}{2-x}.\dfrac{2-x}{x}}=2.3=6\)
⇔ \(\dfrac{9x}{2-x}+\dfrac{2-x}{x}+1\text{≥}6+1=7\)
⇒ \(A_{Min}=7."="\text{⇔}x=\dfrac{1}{2}\)
\(\dfrac{9x}{2-x}+\dfrac{2}{x}=\dfrac{9x}{2-x}+\dfrac{2-x}{x}+1\ge2\sqrt{\dfrac{9x}{2-x}.\dfrac{2-x}{x}}+1=2.3+1=7\)
GTNN của A là 7 khi x=0,5
# Bài 1
* Ta cm BĐT sau \(a^2+b^2\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\) (1) bằng cách biến đổi tương đương
* Với \(x,y>0\) áp dụng (1) ta có
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{\left(\sqrt{x}\right)^2}+\dfrac{1}{\left(\sqrt{y}\right)^2}\ge\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}\right)^2\)
Mà \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\) \(\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}\right)^2\le1\) \(\Leftrightarrow\) \(0< \dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}\le1\) (I)
* Ta cm BĐT phụ \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\) với \(a,b>0\) (2)
Áp dụng (2) với x , y > 0 ta có
\(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}\ge\dfrac{4}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\) (II)
* Từ (I) và (II) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{4}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\le1\)
\(\Leftrightarrow\) \(\sqrt{x}+\sqrt{y}\ge4\)
Dấu "=" xra khi \(x=y=4\)
Vậy min \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=4\) khi \(x=y=4\)
\(1.a.A=\left(1-\dfrac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\right):\left(\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{\sqrt{x}+2}{3-\sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt{x}+2}{x-5\sqrt{x}+6}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}:\dfrac{x-9-x+4+\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}=\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}.\dfrac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}{\sqrt{x}-3}=\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}\left(x\ge0;x\ne4;x\ne9\right)\)
\(b.A< 0\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}< 0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}-2< 0\)
\(\Leftrightarrow x< 4\)
Kết hợp với ĐKXĐ , ta có : \(0\le x< 4\)
KL............
\(2.\) Tương tự bài 1.
\(3a.A=\dfrac{1}{x-\sqrt{x}+1}=\dfrac{1}{x-2.\dfrac{1}{2}\sqrt{x}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}}=\dfrac{1}{\left(\sqrt{x}-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}}\le\dfrac{4}{3}\)
\(\Rightarrow A_{Max}=\dfrac{4}{3}."="\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{4}\)
\(A=\dfrac{18}{2-x}+\dfrac{2}{x}-9=2\left(\dfrac{9}{2-x}+\dfrac{1}{x}\right)-9=2M-9\)
Bunhiacopsky
\(\left(\sqrt{2-x}.\dfrac{3}{\sqrt{2-x}}+\sqrt{x}.\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)^2\le\left(2-x+x\right)\left(\dfrac{18}{2-x}+\dfrac{2}{x}\right)\)
\(M\ge\dfrac{16}{2}=8\)
\(B\ge2.8-9=7\)
B min =7 khi \(\dfrac{18}{2-x}=\dfrac{2}{x}\Rightarrow x=\dfrac{1}{5}\)
\(\dfrac{2-x}{3}=x\Rightarrow x=\dfrac{1}{2}\)