Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Từ giả thiết: \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\Rightarrow ac=b^2\Rightarrow abc=b^3\)
Ta có: \(\frac{a^3-2b^3+c^3}{a+b+c}=\frac{a^3+b^3+c^3-3c^3}{a+b+c}=\frac{a^3+b^3+c^3-3abc}{a+b+c}\)
Xét: \(a^3+b^3+c^3=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc\)
\(=\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-c\left(a+b\right)+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a^3-2b^3+c^3}{a+b+c}=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\) là 1 số nguyên (đpcm)
Bài 1 Câu hỏi của Trịnh Xuân Diện - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath y hệt rút 2 ở tử ở VT chia cho VP là thành đề này
Sử dụng bất đẳng thức \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\) với ba số \(a,b,c\) và ba số dương \(x,y,z\) bất kỳ với chú ý rằng \(a^2b^2c^2=1\), ta có:
\(\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}=\frac{b^2c^2}{a\left(b+c\right)}+\frac{c^2a^2}{b\left(c+a\right)}+\frac{a^2b^2}{c\left(a+b\right)}\ge\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{ab+bc+ca}{2}\) \(\left(1\right)\)
Đặt \(x=ab;\) \(y=bc;\) và \(z=ca\) thì \(xyz=1\) \(\left(2\right)\) với \(x;\), \(y;\) và \(z\) \(>0\)
Khi đó áp dụng BĐT Cauchy cho bộ ba số nguyên dương \(x;\), \(y;\) và \(z\), ta được:
\(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\) \(\Leftrightarrow\) \(x+y+z\ge3\) (do \(\left(2\right)\)), tức \(ab+bc+ca\ge3\) \(\left(3\right)\)
Từ \(\left(1\right);\) \(\left(3\right)\) ta suy ra \(\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}\ge\frac{3}{2}\) \(\left(đpcm\right)\)
Dấu \("="\) xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)
thông điệp nhỏ :
hãy tích nếu như ko muốn tích
ai tích mình tích lại nh nha
Bạn biết BĐT Cauchy-Schwarz dạng phân thức không nhỉ?
\(\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{c+a}+\frac{c^3}{a+b}=\frac{a^4}{ab+ca}+\frac{b^4}{bc+ab}+\frac{c^4}{ca+bc}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)
Đến đây áp dụng BĐT \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\) ta có
\(P\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{2}=\frac{1}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Thế chú học có hơn ai không mà sao chú nói vậy đấy ngon làm đi
ta co :
\(\frac{b+1+a+1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}\)>=\(\frac{3}{4}\)
\(\frac{3}{ab+a+b+1}\)>=\(\frac{3}{4}\)
\(\frac{3}{ab+2}\)>=\(\frac{3}{4}\)
=>\(\frac{1}{ab+2}\)>=\(\frac{1}{4}\)
=>4>=ab+2
=>2>=ab
=>2>=a(1-a) (vi a+b=1)
=>2>=a-a^2
=>a^2-a+2>=0
=>(a-\(\frac{1}{2}\))^2+\(\frac{7}{4}\)>=0 luon dung
=>\(\frac{1}{a+1}\)+\(\frac{1}{b+1}\)>=\(\frac{3}{4}\)
a,b dương áp dụng bđt svac xơ \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\ge\frac{4}{a+1+b+1}\)
\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\ge\frac{4}{3}\)
Đề sai à bạn