Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a/ Biến đổi tương đương:
\(\Leftrightarrow a^2c+ab^2+bc^2\ge b^2c+ac^2+a^2b\)
\(\Leftrightarrow a^2c-a^2b+ab^2-ac^2+bc^2-b^2c\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2\left(c-b\right)-\left(ab+ac\right)\left(c-b\right)+bc\left(c-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(a^2+bc-ab-ac\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(a\left(a-b\right)-c\left(a-b\right)\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(a-c\right)\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(c-a\right)\left(b-a\right)\ge0\) luôn đúng do \(a\le b\le c\)
Vậy BĐT ban đầu đúng
Câu 2: Đề sai, cho \(a=b=c=1\Rightarrow3\ge6\) (sai)
Đề đúng phải là \(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(VT=\frac{a^2}{abc}+\frac{b^2}{abc}+\frac{c^2}{abc}=\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}\ge\frac{ab+ac+bc}{abc}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Câu 3: Không phải với mọi x; y với mọi \(x;y\) dương
Biến đổi tương đương do mẫu số vế phải dương nên ta được quyền nhân chéo:
\(\Leftrightarrow3x^3\ge\left(2x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow3x^3\ge2x^3+x^2y+xy^2-y^3\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3-x^2y-xy^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(x-y\right)-y^2\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\) (luôn đúng)
Bài 1:
(a)
Vì $a,b,c$ là độ dài ba cạnh tam giác nên theo BĐT tam giác ta có:
\(\left\{\begin{matrix} a+b>c\\ b+c>a\\ c+a>b\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} c(a+b)>c^2\\ a(b+c)>a^2\\ b(c+a)>b^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow c(a+b)+a(b+c)+b(c+a)> c^2+a^2+b^2\)
\(\Leftrightarrow 2(ab+bc+ac)> a^2+b^2+c^2\)
Ta có đpcm.
(2): Bài này có nhiều cách giải. Nhưng mình xin đưa ra cách làm thuần túy Cô-si nhất.
Đặt
\((a+b-c, b+c-a, c+a-b)=(x,y,z)\Rightarrow (a,b,c)=(\frac{x+z}{2}; \frac{x+y}{2}; \frac{y+z}{2})\)
Khi đó:
\(\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}=\frac{x+z}{2y}+\frac{x+y}{2z}+\frac{y+z}{2x}\)
\(=\frac{x}{2y}+\frac{z}{2y}+\frac{x}{2z}+\frac{y}{2z}+\frac{y}{2x}+\frac{z}{2x}\geq 6\sqrt[6]{\frac{1}{2^6}}=3\) (áp dụng BĐT Cô-si)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$ hay $a=b=c$
(c):
Theo BĐT tam giác:
\(b+c>a\Rightarrow 2(b+c)> b+c+a\Rightarrow b+c> \frac{a+b+c}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{a}{b+c}< \frac{2a}{a+b+c}\)
Hoàn toàn tương tự với những phân thức còn lại và cộng theo vế:
\(\Rightarrow \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}< \frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}=2\)
Ta có đpcm.
Bài 2:
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương:
\(a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd\geq 6\sqrt[6]{a^2.b^2.c^2.d^2.ab.cd}=6\sqrt[6]{(abcd)^3}=6\sqrt[6]{1^3}=6\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} a^2=b^2=c^2=d^2=ab=cd\\ abcd=1\end{matrix}\right.\Rightarrow a=b=c=d=1\)
câu 1
\(\dfrac{x-3}{2014}+\dfrac{x-2}{2015}=\dfrac{x-1}{1008}+\dfrac{x}{2017}-1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x-3}{2014}-1+\dfrac{x-2}{2015}-1=\dfrac{x-1}{1008}-2+\dfrac{x}{2017}-1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x-2017}{2014}+\dfrac{x-2017}{2015}=\dfrac{x-2017}{1008}+\dfrac{x-2017}{2017}\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2017\right)\left(\dfrac{1}{2014}+\dfrac{1}{2015}-\dfrac{1}{1008}-\dfrac{1}{2017}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x-2017=0\)
\(\Leftrightarrow x=2017\)
Lời giải:
\(\frac{x-b-c}{a}+\frac{x-a-c}{b}+\frac{x-a-b}{c}=3\)
\(\Leftrightarrow \frac{x-b-c}{a}-1+\frac{x-a-c}{b}-1+\frac{x-a-b}{c}-1=0\)
\(\Leftrightarrow \frac{x-b-c-a}{a}+\frac{x-a-c-b}{b}+\frac{x-a-b-c}{c}=0\)
\(\Leftrightarrow (x-a-b-c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=0(1)\)
Vì $abc(ab+bc+ac)\neq 0\Rightarrow \frac{ab+bc+ac}{abc}\neq 0$
$\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\neq 0(2)$
Từ $(1);(2)\Rightarrow x-a-b-c=0\Rightarrow x=a+b+c$
Cho abc(a+b+c) khác 0. Giải phương trình ẩn x:
(x-a)/bc+(x-b)/ac+(x-c)/ab=1/2(1/a+1/b+1/c)
.
Đề bài: Giải bất phương trình :
a) x2 + 5x + 6 ≥ 0
⇔x2+5x ≥ -6
⇔x(x+5) ≥ -6
⇔ x ≥ -6 hoặc x+5 ≥ -6
⇔x ≥ -6 hoặc x ≥ -11
b) x2 - 9x + 20 ≤ 0
⇔x(x-9) ≤ -20
⇔ x ≤ 20 hoặc x-9 ≤ - 20
⇔ x ≤ 20 hoặc x ≤ -11
Thấy đúng thì tick nha
a) \(x^2+5x+6\ge0\)
\(\Leftrightarrow x\left(x+5\right)\ge-6\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x\ge-6\\x+5\ge-6\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x\ge-6\\x\ge-11\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow x\ge-6\)
b) \(x^2-9x+20\le0\)
\(\Leftrightarrow x\left(x-9\right)\le-20\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x\le-20\\x-9\le-20\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x\le-20\\x\le-11\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow x\le-20\)
\(\begin{array}{l} \dfrac{{x - b - c}}{a} + \dfrac{{x - c - a}}{b} + \dfrac{{x - a - b}}{c} = 3\\ \Leftrightarrow \left( {\dfrac{{x - b - c}}{a} - 1} \right) + \left( {\dfrac{{x - c - a}}{b} - 1} \right) + \left( {\dfrac{{x - a - b}}{c} - 1} \right) = 3 - 1 - 1 - 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x - a - b - c}}{a} + \dfrac{{x - a - b - c}}{b} + \dfrac{{x - a - b - c}}{c} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - a - b - c} \right)\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x - a - b - c = 0\\ \Leftrightarrow x = a + b + c \end{array}\\ \boxed{NTT}\)