Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(x^2+y^2=z^2\)
Công thức tổng quát có dạng:
\(x=k\left(m^2-n^2\right),y=k2mn,z=k\left(m^2+n^2\right)\)(\(m,n\inℤ\))
\(xyz=k^32mn\left(m^4-n^4\right)\)
- Chứng minh \(xyz\)chia hết cho \(3\):
Nếu \(m,n\)có ít nhất một số chia hết cho \(3\)suy ra \(xyz\)chia hết cho \(3\).
Nếu \(m,n\)đều không chia hết cho \(3\)suy ra \(m^4,n^4\)đều chia cho \(3\)dư \(1\)
suy ra \(m^4-n^4\)chia hết cho \(3\).
Suy ra \(xyz\)chia hết cho \(3\).
- Chứng minh \(xyz\)chia hết cho \(4\):
Nếu \(m,n\)có ít nhất một số chẵn suy ra \(2mn\)chia hết cho \(4\)
suy ra \(xyz\)chia hết cho \(4\).
Nếu \(m,n\)đều lẻ thì \(m^4,n^4\)đều lẻ nên \(m^4-n^4\)chẵn.
Suy ra \(xyz\)chia hết cho \(4\).
- Chứng minh \(xyz\)chia hết cho \(5\):
Nếu \(m,n\)có ít nhất một số chia hết cho \(5\)suy ra \(xyz\)chia hết cho \(5\).
Nếu \(m,n\)đều không chia hết cho \(5\)suy ra \(m^4,n^4\)đều chia cho \(5\)dư \(1\)
suy ra \(m^4-n^4\)chia hết cho \(5\).
Suy ra \(xyz\)chia hết cho \(5\).
Vậy \(xyz\)chia hết cho cả \(3,4,5\)mà \(3,4,5\)đôi một nguyên tố cùng nhau suy ra \(xyz\)chia hết cho \(3.4.5=60\).
Ta có đpcm.
Suy ra \(xyz\)chia hết cho \(3\).
Bài 1:Áp dụng C-S dạng engel
\(\frac{3}{xy+yz+xz}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}=\frac{6}{2\left(xy+yz+xz\right)}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}\)
\(\ge\frac{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^2>14\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^3+y^2\ge2\sqrt{x^3y^2}=2xy\sqrt{x}\\y^3+z^2\ge2\sqrt{y^3z^2}=2yz\sqrt{y}\\z^3+x^2\ge2\sqrt{z^3x^2}=2xz\sqrt{z}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2\sqrt{x}}{x^3+y^2}\le\dfrac{2\sqrt{x}}{2xy\sqrt{x}}=\dfrac{1}{xy}\\\dfrac{2\sqrt{y}}{y^3+z^2}\le\dfrac{2\sqrt{y}}{2yz\sqrt{y}}=\dfrac{1}{yz}\\\dfrac{2\sqrt{z}}{z^3+x^2}\le\dfrac{2\sqrt{z}}{2xz\sqrt{z}}=\dfrac{1}{xz}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow VT\le\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}\) ( 1 )
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{x^2y^2}}=\dfrac{2}{xy}\\\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{y^2z^2}}=\dfrac{2}{yz}\\\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{1}{x^2}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{x^2z^2}}=\dfrac{2}{xz}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow2\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\right)\ge2\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\ge\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}\) ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 )
\(\Rightarrow VT\le\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2\sqrt{x}}{x^3+y^2}+\dfrac{2\sqrt{y}}{y^3+z^2}+\dfrac{2\sqrt{z}}{z^3+x^2}\le\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\) ( đpcm )