Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có :
\(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{a^3b^3c^3}}=\frac{3}{abc}\)
Dấu = xảy ra khi \(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\) Hay \(a=b=c\) ( đề cho )
Vậy ta có đpcm : \(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}\)
( a + b + c ) ^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+ac+bc)
=> ab = -ac-bc
bc= -ab-ac
ac= -ab-bc
a^2 + 2bc = a^2 + 2bc - ( ab + ac + ac)
= a^2 + bc - ab - ac
= ( a-c) ( a-b)
b^2 + 2ca = ( c-b) ( a-b)
c^2 + 2ab = (b-c) (a-c)
A= a^2/ ( a-c) (a-b) + b^2/ ( c-b) (a-b) + c^2/ ( b-c)(a-c)
rồi quy đồng là xong
a ) \(\left(8x-4x^2-1\right)\left(x^2+2x+1\right)=4\left(x^2+x+1\right)\)
\(\Leftrightarrow8x^3-4x^4-x^2+16x^2-8x^3-2x+8x-4x^2-1=4x^2+4x+4\)
\(\Leftrightarrow-4x^4+11x^2+6x-1=4x^2+4x+4\)
\(\Leftrightarrow-4x^4+7x^2+2x-5=0\)
\(\Leftrightarrow-4x^3\left(x-1\right)-4x^2\left(x-1\right)+3x\left(x-1\right)+5\left(x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(-4x^3-4x^2+3x+5\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left[-4x^2\left(x-1\right)-8x\left(x-1\right)-5\left(x-1\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(4x^2+8x+5\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\4x^2+8x+5=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\\left(2x+2\right)^2+1=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\\left(2x+2\right)^2=-1\left(VL\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy ...
b ) Giả sử : \(a^2+b^2+\left(\frac{ab+1}{a+b}\right)^2\ge2\)
thì \(a^2+b^2+\left(\frac{ab+1}{a+b}\right)^2-2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2+\left(\frac{ab+1}{a+b}\right)^2-2\left(ab+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-\frac{ab+1}{a+b}\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )
=> Điều giả sử là đúng
=> ĐPCM
Đặt x = a + b; y = ab thì:
đpcm <=> x² - 2y + (1 + y)²/x² ≥ 2
<=> x²(x² - 2y) + (1 + y)² - 2x² ≥ 0
<=> x⁴ - 2x²y + y² + 2y + 1 - 2x² ≥ 0
<=> (x²)² + (-y)² + (-1)² + 2.(-1).x² + 2.(-1).(-y) + 2.x².(-y) ≥ 0
<=> (x² - y - 1)² ≥ 0 (luôn đúng) đpcm