Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A B M C O O 1 2 O I E D N
a) Có ^AO1O2 = ^AO1M/2 = 1/2.Sđ(AM của (O1) = ^ABM = ^ABC. Tương tự ^AO2O1 = ^ACB
Suy ra \(\Delta\)AO1O2 ~ \(\Delta\)ABC (g.g) (đpcm).
b) Từ câu a ta có \(\Delta\)AO1O2 ~ \(\Delta\)ABC. Hai tam giác này có đường trung tuyến tương ứng AO,AI
Khi đó \(\Delta\)AOO1 ~ \(\Delta\)AIB (c.g.c) => \(\frac{AO}{AO_1}=\frac{AI}{AB}\). Đồng thời ^OAI = ^O1AB
=> \(\Delta\)AOI ~ \(\Delta\)AO1B (c.g.c). Mà \(\Delta\)AO1B cân tại O1 nên \(\Delta\)AOI cân tại O (đpcm).
c) Xét đường tròn (O1): ^DAM nội tiếp, ^DAM = 900 => DM là đường kính của (O1)
=> ^DBM = 900 => DB vuông góc với BC. Tương tự EC vuông góc với BC
Do vậy BD // MN // CE. Bằng hệ quả ĐL Thales, dễ suy ra \(\frac{ND}{NE}=\frac{MB}{MC}\)(1)
Áp dụng ĐL đường phân giác trong tam giác ta có \(\frac{MB}{MC}=\frac{AB}{AC}\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{ND}{NE}=\frac{AB}{AC}\)=> ND.AC = NE.AB (đpcm).
A B C T K O P S E F G I
a) Áp dụng tính chất của góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, ta có:
\(\widehat{TAB}=\widehat{TCA}\)
Suy ra \(\Delta\)TAB ~ \(\Delta\)TCA (g.g) \(\Rightarrow\frac{TA}{TC}=\frac{TB}{TA}\Rightarrow TA^2=TB.TC\)(đpcm)
Hai điểm A và K cùng nằm trên (T) nên \(\Delta\)ATK cân tại T => \(\widehat{TAK}=\widehat{TKA}\)(1)
Dễ thấy góc TKA là góc ngoài của \(\Delta\)ACK => \(\widehat{TKA}=\widehat{CAK}+\widehat{ACK}\)
\(\Rightarrow\widehat{CAK}=\widehat{TKA}-\widehat{ACK}\)(2)
Ta có: \(\widehat{BAK}=\widehat{TAK}-\widehat{TAB}=\widehat{TAK}-\widehat{ACB}\)(Do \(\widehat{TAB}=\widehat{ACB}\))
hay \(\widehat{BAK}=\widehat{TAK}-\widehat{ACK}\)(3)
Từ (1); (2) và (3) suy ra: \(\widehat{BAK}=\widehat{CAK}\)=> AK là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)(đpcm).
b) Ta có: \(\frac{TA}{TC}=\frac{TB}{TA}\)=> \(\frac{TP}{TC}=\frac{TB}{TP}\)(P và A thuộc (T))
Từ đó ta chứng minh được: \(\Delta\)TBP ~ \(\Delta\)TPC (c.g.c) => \(\widehat{TPB}=\widehat{TCP}\)
Xét \(\Delta\)BPC: Tia PT nằm ngoài tam giác thỏa mãn \(\widehat{TPB}=\widehat{TCP}\)
Vậy nên TP là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta\)BPC (đpcm).
c) Gọi giao điểm của của AT và EF kéo dài là G, EF cắt AP tại điểm I.
Ta thấy tứ giác BEFC nội tiếp (O) => \(\widehat{BCP}=\widehat{EFP}\)hay \(\widehat{EFP}=\widehat{TCP}\)
Mà \(\widehat{TPB}=\widehat{TCP}\)(cmt) => \(\widehat{EFP}=\widehat{TPB}\)
Vì 2 góc trên nằm ở vị trí so le trong nên TP // EF hay TP // GI
Lại có: \(\Delta\)ATP cân tại T có GI // TP (G\(\in\)AT; I\(\in\)AP) => \(\Delta\)AGI cân tại G => \(\widehat{GAI}=\widehat{GIA}\)(4)
\(\widehat{EAI}=\widehat{GAI}-\widehat{GAE}\)(5); \(\widehat{FAI}=\widehat{GIA}-\widehat{AFG}\)(6)
Dễ chứng minh \(\widehat{GAE}=\widehat{AFG}\)(7)
Từ (4); (5); (6) và (7) => \(\widehat{EAI}=\widehat{FAI}\) hay \(\widehat{EAS}=\widehat{FAS}\)
Mà tứ giác AESF nội tiếp (O) => \(\widehat{EAS}=\widehat{EFS}\)và \(\widehat{FAS}=\widehat{FES}\)
Từ đó ta có: \(\widehat{EFS}=\widehat{FES}\)=> Tam giác ESF cân tại S => S nằm trên đường trung trực của EF
Mà EF là dây cung của (O) nên O cũng nằm trên trung trực của EF
Do đó SO là trung trực của EF hay \(SO\perp EF\)(đpcm).
Xin lỗi bạn, 2 góc EFP và TPB là hai góc đồng vị, không phải so le trong nhé.
a) Xét (O) có :
AB là tiếp tuyến tại B
AC là tiếp tuyến tại C
AB cắt AC tại A
\(\Rightarrow\widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90^o\)và OA là p/g \(\widehat{BOC}\)
Xét tg ABOC có \(\widehat{ABO}+\widehat{ACO}=180^o\)Mà 2 góc này đối nhau
\(\Rightarrow\)ABOC là tg nt
b) Xét (O) có
\(\widehat{ABE}\)là góc tạo bởi tiếp tuyến AB và dây BE
\(\widehat{BDE}\)là góc nt chắn cung BE
\(\Rightarrow\widehat{ABE}=\widehat{BDE}=\frac{1}{2}sđ\widebat{BE}\)
Xét \(\Delta ABEvà\Delta ADB:\)
\(\widehat{BAD}\)chung
\(\widehat{ABE}=\widehat{BDE}\)
\(\Rightarrow\Delta ABE\infty\Delta ADB\left(gg\right)\)
\(\Rightarrow\frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AB}\Rightarrow AB^2=AD.AE\)
c) Vì OA là p/g \(\widehat{BOC}\Rightarrow\widehat{BOA}=\widehat{COA}=\frac{\widehat{BOC}}{2}\)
Do ABOC là tg nt\(\Rightarrow\widehat{BOA}=\widehat{BCA}\)(cùng chắn cung AB)
Suy ra \(\widehat{AOC}=\widehat{ACB}\)
Đường tròn c: Đường tròn qua B với tâm O Đoạn thẳng h: Đoạn thẳng [A, B] Đoạn thẳng i: Đoạn thẳng [B, C] Đoạn thẳng j: Đoạn thẳng [A, C] Đoạn thẳng n: Đoạn thẳng [O, C] Đoạn thẳng p: Đoạn thẳng [F, C] Đoạn thẳng q: Đoạn thẳng [C, H] Đoạn thẳng r: Đoạn thẳng [B, E] Đoạn thẳng s: Đoạn thẳng [C, E] Đoạn thẳng t: Đoạn thẳng [A, F] O = (1.42, 2.28) O = (1.42, 2.28) O = (1.42, 2.28) B = (5.54, 2.28) B = (5.54, 2.28) B = (5.54, 2.28) Điểm A: Giao điểm đường của c, f Điểm A: Giao điểm đường của c, f Điểm A: Giao điểm đường của c, f Điểm C: Điểm trên c Điểm C: Điểm trên c Điểm C: Điểm trên c Điểm H: Giao điểm đường của k, h Điểm H: Giao điểm đường của k, h Điểm H: Giao điểm đường của k, h Điểm M: Trung điểm của A, C Điểm M: Trung điểm của A, C Điểm M: Trung điểm của A, C Điểm N: Trung điểm của H, C Điểm N: Trung điểm của H, C Điểm N: Trung điểm của H, C Điểm F: Giao điểm đường của g, m Điểm F: Giao điểm đường của g, m Điểm F: Giao điểm đường của g, m Điểm E: Giao điểm đường của g, l Điểm E: Giao điểm đường của g, l Điểm E: Giao điểm đường của g, l
a) Ta thấy \(\widehat{ACB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn AB. Vậy nên \(\widehat{ACB}=\frac{sđ\widebat{AB}}{2}=\frac{180^o}{2}=90^o\)
Vậy tam giác ABC là tam giác vuông tại C.
b) Do M là trung điểm của dây cung AC. Theo tính chất đường kính, dây cung, ta có \(OM\perp AC\)
Xét tứ giác OMCH có \(\widehat{OMC}=\widehat{OHC}=90^o\) nên OMCH là tứ giác nội tiếp.
Đường tròn ngoại tiếp tứ giác trên có đường kinh là OC nên tâm I của đường tròn là trung điểm OC.
c) Xét tam giác vuông ABE có đường cao BC. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:
\(EC.EA=BE^2\)
Xét tam giác vuông BCE, theo định lý Pi-ta-go, ta có:
\(BE^2=OE^2-OB^2=OE^2-R^2\)
Vậy ta có ngay \(EC.EA=OE^2-R^2\)
d) Ta thấy CH // BE nên áp dụng định lý Talet ta có:
\(\frac{NH}{BF}=\frac{NC}{FE}\left(=\frac{AH}{AB}\right)\)
Lại có NH = HC nên BF = FE
Xét tam giác vuông BCE có CF là trung tuyến ứng vớ cạnh huyền nên FC = FB.
Vậy thì \(\Delta OCF=\Delta OBF\left(c-c-c\right)\Rightarrow\widehat{OCF}=\widehat{OBF}=90^o\)
hay CF là tiếp tuyến của đường tròn (I)