H
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
20 tháng 3 2018
a)\(a^2+ab+b^2=a^2+\dfrac{2ab}{2}+\left(\dfrac{b}{2}\right)^2+\dfrac{3b^2}{4}\)
\(=\left(a+\dfrac{b}{2}\right)^2+\dfrac{3b^2}{4}\ge0\forall a,b\)
b)\(a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^3-b^3\right)\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\forall a,b\)
KH
20 tháng 4 2020
\(1.CMR:\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\)
\(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=1+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}+1=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}=2\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2\ge2+2=4\)
Dấu '' = '' xảy ra khi \(a=b\)
\(2.\\ a.CMR:a^2+2b^2+c^2-2ab-2bc\ge0\forall a,b,c\)
\(a^2+2b^2+c^2-2ab-2bc=a^2-2ab+b^2+c^2-2bc+b^2=\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2\ge0\forall a,b,c\)
Dấu '' = '' xảy ra khi \(a=b=c\)
\(b.CMR:a^2+b^2-4a+6b+13\ge0\forall a,b\)
\(a^2+b^2-4a+6b+13=\left(a^2-4a+4\right)+\left(b^2+6b+9\right)=\left(a-2\right)^2+\left(b+9\right)^2\ge0\forall a,b\)
Dấu '' = '' xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=-9\end{matrix}\right.\)
PT
2
CL
17 tháng 12 2017
\(\dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ca}+\dfrac{c}{ab}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^2+b^2+c^2}{abc}\ge\dfrac{ab+bc+ac}{abc}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)* Đúng*
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c\)
LB
18 tháng 12 2017
C/M \(\dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ca}+\dfrac{c}{ab}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
theo bđt cosi ta có
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ca}\ge2\sqrt{\dfrac{bc}{a^2bc}}=\dfrac{2}{a}\\\dfrac{a}{bc}+\dfrac{c}{ab}\ge\dfrac{2}{b}\\\dfrac{b}{ca}+\dfrac{c}{ab}\ge\dfrac{2}{c}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow2(\dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ca}+\dfrac{c}{ab})\ge2(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})\)
\(\Rightarrow dpcm\)
PT
2
14 tháng 12 2017
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(VT=\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\)
\(=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\)
\(\ge2\sqrt{ab}\cdot2\sqrt{bc}\cdot2\sqrt{ac}\)
\(=8abc=VP\)
Khi \(a=b=c\)
18 tháng 12 2017
BĐT\(\Leftrightarrow\)(a+b)+(b+c)+(c+a)\(\ge\)8abc
TA có BDT cô si
a+b\(\ge\)2\(\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow\)(a+b)(b+c)(a+c)\(\ge\)\(2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ac}\)
Vậy (1-a)(1-b)(1-c)\(\ge\)8abc
NT
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
28 tháng 2 2020
Lời giải:
Do $a>b$ nên $a-b>0$
Áp dụng BĐT AM-GM với các số dương ta có:
\(a+\frac{1}{b(a-b)^2}=\frac{a-b}{2}+\frac{a-b}{2}+b+\frac{1}{b(a-b)^2}\geq 4\sqrt[4]{\frac{a-b}{2}.\frac{a-b}{2}.b.\frac{1}{b(a-b)^2}}\)
\(=4\sqrt[4]{\frac{1}{4}}=2\sqrt{2}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{a-b}{2}=b=\frac{1}{b(a-b)^2}\Leftrightarrow a=3\sqrt{\frac{1}{2}}; b=\sqrt{\frac{1}{2}}\)
L
3
MS
3 tháng 3 2016
Giả sử ngược lại, trong 3 số a , b , c có ít nhất 1 số \(\le0\). Vì a, b, c vai trò như nhau, nên ta có thể xem \(a\le0\)
Khi đó : \(abc>0\Rightarrow\)\(a<0,bc<0\)
\(\Rightarrow a\left(b+c\right)=ab+ac>-bc>0\)
\(\Rightarrow a\left(b+c\right)>0\)
\(\Rightarrow b+c<0\) ( Vì chứng minh trên có a < 0 )
\(\Rightarrow a+b+c<0\Rightarrow\) vô lí
Vậy \(a,b,c>0\)
Y
16 tháng 4 2019
+ \(c^2+1\ge2c\) \(\forall c\)
\(\Rightarrow a^2\left(c^2+1\right)\ge2a^2c\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow c=1\)
+ Tương tự ta có :
\(c^2\left(b^2+1\right)\ge2bc^2\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow b=1\)
\(b^2\left(a^2+1\right)\ge2ab^2\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=1\)
do đó : \(a^2\left(c^2+1\right)+c^2\left(b^2+1\right)+b^2\left(a^2+1\right)\)
\(\ge2\left(a^2c+bc^2+ab^2\right)\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Áp dụng bđt AM-GM cho 3 số dương \(a^2c;bc^2;ab^2\) ta có :
\(a^2c+bc^2+ab^2\ge3\sqrt[3]{a^2c\cdot bc^2\cdot ab^2}=3abc\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a^2c=bc^2=ab^2\Leftrightarrow a=b=c\)
Do đó : \(a^2\left(c^2+1\right)+c^2\left(c^2+1\right)+b^2\left(a^2+1\right)\)
\(\ge2\cdot3abc=6abc\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
16 tháng 4 2019
Nghĩ đơn giản ra
VT = a2 + c2a2 + c2 + b2c2 + b2 + a2b2 ≥ \(6\sqrt[6]{a^6b^6c^6}\) = 6abc