Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(x^2+y^2+z^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=6\)
<=> \(\left(x^2+\frac{1}{x^2}-2\right)+\left(y^2+\frac{1}{y^2}-2\right)+\left(z^2+\frac{1}{z^2}-2\right)=0\)
<=> \(\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+\left(y-\frac{1}{y}\right)^2+\left(z-\frac{1}{z}\right)^2=0\)
<=> \(\hept{\begin{cases}x-\frac{1}{x}=0\\y-\frac{1}{y}=0\\z-\frac{1}{z}=0\end{cases}}\)
<=> \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{x}\\y=\frac{1}{y}\\z=\frac{1}{z}\end{cases}}\)
<=> \(\hept{\begin{cases}x^2=1\\y^2=1\\z^2=1\end{cases}}\)
<=> x = y = z = \(\pm\)1
Với x = y = z = 1 => P = 12018 + 12019 + 12020 = 3
x = y = z = -1 => P = (-1)2018 + (-1)2019 + (-1)2020 = 1
Vậy ...
Bài 1:
\(x^2+y^2-2x-4y+5=0\)
\(\Leftrightarrow (x^2-2x+1)+(y^2-4y+4)=0\)
\(\Leftrightarrow (x-1)^2+(y-2)^2=0\)
Vì $(x-1)^2; (y-2)^2\geq 0$ với mọi $x,y\in\mathbb{R}$ nên để tổng của chúng bằng $0$ thì $(x-1)^2=(y-2)^2=0$
$\Rightarrow x=1; y=2$
Vậy...........
Bài 2:
Ta có:
\(a(a-b)+b(b-c)+c(c-a)=0\)
\(\Leftrightarrow 2a(a-b)+2b(b-c)+2c(c-a)=0\)
\(\Leftrightarrow (a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)=0\)
\(\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0\)
Lập luận tương tự bài 1, ta suy ra :
\((a-b)^2=(b-c)^2=(c-a)^2=0\Rightarrow a=b=c\)
Khi đó, thay $b=c=a$ ta có:
\(P=a^3+b^3+c^3-3abc+3ab-3c+5\)
\(=3a^3-3a^3+3a^2-3a+5=3a^2-3a+5\)
\(=3(a^2-a+\frac{1}{4})+\frac{17}{4}=3(a-\frac{1}{2})^2+\frac{17}{4}\geq \frac{17}{4}\)
Vậy $P_{\min}=\frac{17}{4}$
Giá trị này đạt được tại $b=c=a=\frac{1}{2}$
\(2x^2+y^2+z^2-2xy-2x+1=0\)
\(\Rightarrow\left(x^2+y^2-2xy\right)+\left(x^2-2x+1\right)+z^2=0\)
\(\Rightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x-1\right)^2+z^2=0\)
\(\Leftrightarrow x=y=1;=0\)
\(A=x^{2018}+y^{2019}+z^{2020}=1+1+0=2\)
2)
\(a+b+c=6\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)=36\)
\(\Leftrightarrow12+2\left(ab+bc+ac\right)=36\Leftrightarrow ab+bc+ac=12\)
Kết hợp với \(a^2+b^2+c^2=12\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\left(a-b\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(b-c\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(c-a\right)^2=0\Leftrightarrow a=b=c\)
Kết hợp với \(a+b+c=6\Leftrightarrow a=b=c=2\)
\(P=\left(a-3\right)^{2019}+\left(b-3\right)^{2019}+\left(c-3\right)^{2019}=\left(-1\right)^{2019}+\left(-1\right)^{2019}+\left(-1\right)^{2019}=-3\)