Question

[Fatasio]

1. cho p và p +8 đều là số nguyên tố p>3. hỏi p+108 la số nguyên tố hay hợp số

2. cho p là nguyên tố > 3 chứng minh rằng: p²-1 chia hết cho 8

Answer 1

[Akai Haruma]

Bài 1: $p+108$ có thể là số nguyên tố hoặc hợp số đều được.

Ví dụ: $p=5$ là một số thỏa mãn đkđb, cho ta \(p+108=113\) là số nguyên tố.

$p=11$ là một số thỏa mãn đkđb , cho ta $p+108=7.17$ là hợp số.

Answer 2

[Akai Haruma]

Bài 2:

Vì $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$ nên $p$ lẻ .

Đặt $p=2k+1$ với \(k\in\mathbb{N}^*\)

Khi đó: \(p^2-1=(2k+1)^2-1=4k^2+4k=4k(k+1)\)

Ta thấy $k(k+1)$ là tích 2 số tự nhiên liên tiếp nên \(k(k+1)\vdots 2\)

Do đó: \(p^2-1=4k(k+1)\vdots 8\)

Ta có đpcm.