Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bai 1
Bo de : \(\Delta ABC\) trung tuyen AD
\(\Rightarrow S_{ADB}=S_{ADC}\)
cai nay ban tu chung minh nha
Ap dung bo de va bai nay => \(S_{MNPQ}=S_{MQP}+S_{MNP}=\frac{1}{3}S_{MDC}+\frac{1}{3}S_{ABP}\)
ta phai chung minh \(S_{MDC}+S_{ABP}=S_{ABCD}\)
That vay co \(S_{AMP}=S_{AMD},S_{MBP}=S_{MBC}\)
=> \(S_{ABP}+S_{MDC}=S_{ADM}+S_{MDC}+S_{MBC}=S_{ABCD}\)
=> dpcm
B C D A E F H M N
a) Xét tam giác AFB và tam giác DMA có:
\(\widehat{ABF}=\widehat{DAM}\) (Cùng phụ với góc \(\widehat{BAM}\) )
\(\widehat{FAB}=\widehat{MDA}=90^o\)
AB = AD
\(\Rightarrow\Delta AFB=\Delta DMA\) ( Cạnh góc vuông, góc nhọn kề)
\(\Rightarrow AF=DM\)
\(\Rightarrow DM=AE\)
Xét tứ giác AEMD có AE song song và bằng DM nên nó là hình bình hành.
Lại có \(\widehat{EAD}=90^o\) nên AEMD là hình chữ nhật.
b) Đặt \(\frac{AE}{EB}=k\); Ta có các tỉ số: \(\frac{AE}{EB}=\frac{MD}{MC}=\frac{AD}{CN}=k\)
Ta có: \(\frac{S_{AEH}}{S_{ABH}}=\frac{k}{k+1}\)
Ta có \(\frac{AE}{EB}=\frac{MD}{MC}=\frac{AD}{CN}=\frac{BC}{CN}=\frac{S_{BCH}}{S_{BNH}}=\frac{k}{k+1}\)
Vậy thì \(\frac{S_{AEH}}{S_{ABH}}=\frac{S_{CBH}}{S_{BNH}}\Rightarrow\frac{S_{AEH}}{S_{ABH}}=\frac{4S_{AEH}}{S_{BNH}}\Rightarrow\frac{S_{BNH}}{S_{BAH}}=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow\frac{AH}{HN}=\frac{1}{4}\Rightarrow\frac{AF}{BN}=\frac{1}{4}\)
Ta có: \(\frac{AF}{BN}=\frac{AF}{BC+CN}=\frac{AF}{\left(k+1\right)AF+\left(\frac{k+1}{k}\right)AF}=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow k=1\)
Vậy thì AE = EB hay E, F là trung điểm AB, AC.
Từ đó suy ra \(EF=\frac{BD}{2}=\frac{AC}{2}\)
Vậy AC = 2EF.
c) Ta thấy ngay \(\Delta ADM\sim\Delta NCM\left(g-g\right)\)
\(\Rightarrow\frac{AM}{MN}=\frac{AD}{CN}\Rightarrow AM.CN=MN.AD\)
\(\Rightarrow AM\left(AD+CN\right)=AN.AD\)
\(\Rightarrow AM.BN=AD.AD\)
\(\Rightarrow AM^2.BN^2=AN^2.AD^2\)
\(\Rightarrow AM^2\left(AD^2+BN^2-AD^2\right)=AN^2.AD^2\)
\(\Rightarrow AM^2\left(AN^2-AD^2\right)=AN^2.AD^2\)
\(\Rightarrow AM^2.AN^2=AM^2.AD^2+AN^2.AD^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{AD^2}=\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AN^2}\)
phần b bạn giải dài quá
ta có tam giác BAF đồng dạng với BHA (g.g)
=> af/ah=bf/ab=ab/hc
<=> af/ah=ab/hb
<=> ae/ah=bc/hb
mà hbc=bah
suy ra hbc đồng dạng với hae (cgc)
mà ti le diện tích đồng dạng bằng bình phương tỉ lệ đồng dạng
suy ra (ae/bc)^2=1/4
=>ae/ab=1/2
a) AEBF là hình thang vuôngvì EF là đường trung bình \(\Rightarrow EF//AB\)
b) Xét hai tam giác vuông ABK và EIK có góc EKI = góc AKB nên \(\Delta ABK\approx\Delta IEK\)
\(\Rightarrow\frac{AB}{BK}=\frac{EI}{EK}\)
c) Xét \(\Delta AKB=\Delta AKH\left(ch-gn\right)\)
+ AK chung
+ Góc BAK = góc HAK
Vậy BK = HK
Gọi giao điểm của HK và AK là P
Xét \(\Delta PBK=\Delta PHK\left(c.g.c\right)\)
+ PK Chung
+ BK = HK
+ Góc PKB = góc PKH
Suy ra góc PBK = góc PHK
Ta có
\(\hept{\begin{cases}\widehat{PBK}+\widehat{ABP}=90^0\\\widehat{BAP}+\widehat{ABP}=90^0\end{cases}}\Rightarrow\widehat{PBK}=\widehat{BAP}=\widehat{IAF}\left(1\right)\)
\(\hept{\begin{cases}\widehat{EKI}=\widehat{PKB}=\widehat{PKH}\\\widehat{EIK}+\widehat{EKI}=90^0\end{cases}}\)
Mà \(\hept{\begin{cases}\widehat{PKH}+\widehat{PHK}=90^0\\\widehat{EIK}+\widehat{PKH}=90^0\end{cases}\Rightarrow}\widehat{BHK}=\widehat{EIK}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) ta có đpcm vì hai tam giác BKH và AFI đều là hai tam giác cân có hai góc ở đáy bằng nhau
Nên hai tam giác trên đồng dạng
d)
A B C M N P
a) Ta có \(\frac{S_{AMP}}{S_{ABC}}=\frac{S_{AMP}}{S_{ABP}}.\frac{S_{ABP}}{S_{ABC}}=\frac{AM}{AB}.\frac{AP}{AC}=\frac{k}{k+1}.\frac{1}{k+1}=\frac{k}{\left(k+1\right)^2}\)
b) Hoàn toàn tương tự như câu a, ta có:
\(\frac{S_{MNB}}{S_{ABC}}=\frac{S_{NCP}}{S_{ABC}}=\frac{k}{\left(k+1\right)^2}\)
\(\Rightarrow S_{MNP}=S_{ABC}-S_{MAP}-S_{MBN}-S_{PNC}\)
\(=S-\frac{3k}{\left(k+1\right)^2}.S=\frac{k^2-k+1}{\left(k+1\right)^2}.S\)
c) Để \(S'=\frac{7}{16}S\Rightarrow\frac{k^2-k+1}{\left(k+1\right)^2}=\frac{7}{16}\)
\(\Rightarrow16k^2-16k+16=7k^2+14k+7\)
\(\Rightarrow9k^2-30k+9=0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}k=3\\k=\frac{1}{3}\end{cases}}\)