Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
9. Chứng minh tổng các lập phương của ba số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 9.
Gọi ba số nguyên liên tiếp là \(\hept{\begin{cases}x-1\\x\\x+1\end{cases}}\left(x\inℤ\right)\)
=> Lập phương của ba số đó lần lượt là \(\hept{\begin{cases}\left(x-1\right)^3\\x^3\\\left(x+1\right)^3\end{cases}}\)
Ta có:
\(\left(x-1\right)^3+x^3+\left(x+1\right)^3\)
\(=\left(x^3-3x^2+3x-1\right)+x^3+\left(x^3+3x^2+3x+1\right)\)
\(=x^3-3x^2+3x-1+x^3+x^3+3x^2+3x+1\)
\(=(x^3+x^3+x^3)+(-3x^2+3x^2)+(3x+3x)+(-1+1)\)
\(=3x^3+6x\)
\(=3x^3-3x+9x\)
\(=3x.(x^2-1)+9x\)
\(=3.(x-1).x(x+1)+9x\)
Ta có: \(9x⋮9\)
Mà: \(\left(x-1\right).x.\left(x+1\right)\) là ba số nguyên liên tiếp, trong đó có ít nhất một số phải chia hết cho 3
\(\Rightarrow\left(x-1\right).x.\left(x+1\right)⋮3\)
\(\Rightarrow3.\left(x-1\right).x.\left(x+1\right)⋮9\)
Vậy \(3.\left(x-1\right).x.\left(x+1\right)+9x⋮9\)
11.
a. Chứng minh rằng nếu mỗi số trong hai số nguyên là tổng các bình phương của hai số nguyên nào đó thì tích của chúng có thể viết dưới dạng tổng hai bình phương.
Giả sử A và B là hai số nguyên thoả mãn điều kiện
\(\hept{\begin{cases}A=a^2+b^2\\B=c^2+d^2\end{cases}\left(a,b,c,d\inℤ\right)}\)
\(\Rightarrow AB=\left(a^2+b^2\right).\left(c^2+d^2\right)\)
\(=a^2c^2+b^2d^2+b^2c^2+a^2d^2\)
\(=a^2c^2+2acbd+b^2d^2+a^2d^2-2adbc+b^2c^2\)
\(=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2\)
b. Chứng minh rằng tổng các bình phương của k số nguyên liên tiếp (k = 3, 4, 5) không là số chính phương.
Trường hợp 1: \(k=3\)
Gọi ba số nguyên liên tiếp là \(\hept{\begin{cases}n-1\\n\\n+1\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\) \((n-1)^2+n^2+(n+1)^2\)
\(\Leftrightarrow\) \(3n^2+2:3\) dư \(1\)
Vậy không phải là số chính phương
Trường hợp 2: \(k=4\)
Gọi bốn số đó là \(n-2;n-1;n;n+1\)
\(\Leftrightarrow\) \((n-2)^2 + (n -1)^2 + n^2 + (n+1)^2 \)
\(\Leftrightarrow\) \(4n^2-4n+6\) chia hết cho \(6\) nhưng không chia hết cho \(4\)
Vậy không phải là số chính phương
Trường hợp 3: \(k=5\)
Gọi năm số đó là \(n-2;n-1;n;n+1;n+2\)
\(\Leftrightarrow\) \((n-2)^2+(n-1)^2+n^2+(n+1)^2+(n+2)^2\)
\(\Leftrightarrow\) \(5n^2+10\) chia hết cho \(5\) nhưng không chia hết cho \(25\)
Vậy không phải là số chính phương
Tham khảo ạ :
B = x15 - 8x14 + 8x13 - 8x2 + ... - 8x2 + 8x - 5
B = x^15 - 7x^14 -x^14+7x^13+x^13-7x^12-...-x^2+7x+x-5
B = x^14(x-7) - x^14(x-7) +...+x^2(x-7)-x(x-7)+x-5
B = 7-5=2
HT
TL:
B = x15 - 8x14 + 8x13 - 8x2 + ... - 8x2 + 8x - 5
B = x^15 - 7x^14 -x^14+7x^13+x^13-7x^12-...-x^2+7x+x-5
B = x^14(x-7) - x^14(x-7) +...+x^2(x-7)-x(x-7)+x-5
B = 7-5=2
HT
(đúng & sai cứ lm)
a) \(100^2-99^2+98^2-97^2+...+2^2-1^2\)
\(=\left(100^2-99^2\right)+\left(98^2-97^2\right)+...+\left(2^2-1^2\right)\)
\(=\left(100-99\right)\left(100+99\right)+\left(98-97\right)\left(98+97\right)+...+\left(2-1\right)\left(2+1\right)\)
\(=100+99+98+...+2+1\)
\(=\frac{100\left(100+1\right)}{2}=5050\)
\(A=\left(100-99\right)\left(100+99\right)+\left(99-98\right)\left(98+97\right)+...+\left(2-1\right)\left(2+1\right)\\ A=100+99+99+98+...+2+1\\ A=\left(100+1\right)\left(100-1+1\right):2=5050\)
\(B=\left(2-1\right)\left(2+1\right)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)...\left(2^{64}+1\right)+1\\ B=\left(2^1-1\right)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)...\left(2^{64}+1\right)+1\\ B=\left(2^4-1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)...\left(2^{64}+1\right)+1\\ B=\left(2^8-1\right)\left(2^8+1\right)\left(2^{16}+1\right)...\left(2^{64}+1\right)+1\\ B=\left(2^{16}-1\right)\left(2^{16}+1\right)\left(2^{32}+1\right)\left(2^{64}+1\right)+1\\ B=\left(2^{32}-1\right)\left(2^{32}+1\right)\left(2^{64}+1\right)+1\\ B=\left(2^{64}-1\right)\left(2^{64}+1\right)+1=2^{128}-1+1=2^{128}\)
\(C=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac+a^2+b^2+c^2+2ab-2ac-2bc-2a^2-4ab-2b^2\\ C=2c^2\)
Cũa mị:>>>
Tham khảo ạ !!!
A = 1002 - 992 + 982 - 972 + ...... + 22 - 12
= ( 100 - 99 ) ( 100 + 99 ) + ( 98 - 97 ) ( 98 + 97 ) + ......... + ( 2 - 1 ) ( 2 + 1 )
= 1 + 2 + 3 + ......... + 99 + 100
= ( 100 + 1 ) . 100 : 2 = 5050
B = 3 ( 22 + 1 ) ( 24 + 1 ) ... ( 264 + 1 ) + 12
= ( 22 - 1 ) ( 22 + 1 ) ( 24 + 1 ) ... ( 264 + 1 ) + 1
= ( 24 - 1 ) ( 24 + 1 ) ... ( 264 + 1 ) + 1
= ( 28 - 1 ) ( 28 + 1 ) ... ( 264 + 1 ) + 1
= ( 216 - 1 ) ( 216 + 1 ) ... ( 264 + 1 ) + 1
= ( 232 - 1 ) ( 232 + 1 ) ( 264 + 1 ) + 1
= ( 264 - 1 ) ( 264 + 1 ) + 1
= 2128 - 1 + 1
= 2128
C = ( a + b + c )2 + ( a + b - c )2 - 2 ( a + b )2
= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca + a2 + ab - ac + ab + b2 - bc - ac - bc + c2 - 2 ( a2 + 2ab + b2 )
= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca + a2 + ab - ac + ab + b2 - bc - ac - bc + c2 - 2a2 - 4ab - 2b2
= 2c2
B = x15 - 8x14 + 8x13 - 8x2 + ... - 8x2 + 8x - 5
B = x^15 - 7x^14 -x^14+7x^13+x^13-7x^12-...-x^2+7x+x-5
B = x^14(x-7) - x^14(x-7) +...+x^2(x-7)-x(x-7)+x-5
B = 7-5=2
B = x15 - 8x14 + 8x13 - 8x2 + ... - 8x2 + 8x - 5
B = x^15 - 7x^14 -x^14+7x^13+x^13-7x^12-...-x^2+7x+x-5
B = x^14(x-7) - x^14(x-7) +...+x^2(x-7)-x(x-7)+x-5
B = 7-5=2
khoooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooong
a. A = 1002 - 992+ 982 - 972 + ... + 22 - 12
A = ( 1002 - 992 ) + ( 982 - 972 ) + ... + ( 22 - 12 )
A = ( 100 - 99 )(100 + 99 ) + (98 - 97 )(98 + 97) + ... + (2-1)(2+1)
A = 199 + 195 + .... + 3
Tổng A có ss hạng là:
( 199 - 3 ) : 4 + 1 = 50 ( số )
Tổng A bằng:
( 199 + 3 ) x 50 : 2 = 5050
c. C = (a + b + c)2 + (a + b - c)2 - 2(a + b)2
C = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac + a2 + b2 + c2 + 2ab - 2bc - 2ac - 2(a2 + 2ab + b2)
C = 2a2 + 2b2 + 2c2 + 4ab - 2a2 -4ab - 2b2
C = 2c2
b. B = 3(22 + 1) (24 + 1) ... (264 + 1) + 12
B = (22 - 1)(22 + 1)(24 + 1) ... (264 + 1) + 12
B = ( 24 - 1)(24 + 1)... (264 + 1) + 12
B = (28 - 1)... (264 + 1) + 12
B = (28 - 1)(28+1)... (264 + 1) + 12
B = (216-1)(216+1)... (264 + 1) + 12
B = (232 - 1)(232+1)... (264 + 1) + 12
B = (264 - 1)(264 +1)+1
B = 2128 - 1 + 1
B = 2128
a) \(x^2+xy+y^2+1\)
\(=x^2+xy+\dfrac{y^2}{4}-\dfrac{y^2}{4}+y^2+1\)
\(=\left(x+\dfrac{y}{2}\right)^2+\dfrac{3y^2}{4}+1\)
mà \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+\dfrac{y}{2}\right)^2\ge0,\forall x;y\\\dfrac{3y^2}{4}\ge0,\forall x;y\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(x+\dfrac{y}{2}\right)^2+\dfrac{3y^2}{4}+1>0,\forall x;y\)
\(\Rightarrow dpcm\)
b) \(...=x^2-2x+1+4\left(y^2+2y+1\right)+z^2-6z+9+1\)
\(=\left(x-1\right)^2+4\left(y^{ }+1\right)^2+\left(z-3\right)^2+1>0,\forall x.y\)
\(\Rightarrow dpcm\)