Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a. \(\sqrt{4x}+\sqrt{x}=2\Leftrightarrow2\sqrt{x}+\sqrt{x}=2\Leftrightarrow3\sqrt{x}=2\Leftrightarrow\sqrt{x}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow x=\frac{4}{9}\)
b. \(\sqrt{x^2-4}=\sqrt{x-2}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2-4=x-2\\x-2\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\orbr{\begin{cases}x=2\\x=-1\end{cases}}\\x\ge2\end{cases}}\Leftrightarrow x=2\)\(\sqrt{x^2-4}=\sqrt{x-2}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2-4=x-2\\x-2\ge2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x-2\right)\left(x+1\right)=0\\x\ge2\end{cases}}\Leftrightarrow x=2\)
c.\(\sqrt{x^2-2x}+\sqrt{2x^2+4x}=2x\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge0\\x^2-2x+2x^2+4x+2\sqrt{x^2-2x}.\sqrt{2x^2+4x}=4x^2\end{cases}}\)
\(\Rightarrow x^2-2x=2\sqrt{x^2-2x}.\sqrt{2x^2+4x}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\sqrt{x^2-2x}=0\\\sqrt{x^2-2x}=2\sqrt{2x^2+4x}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\text{ hoặc }x=2\\x^2-2x=8x^2+16x\end{cases}\Leftrightarrow}\)hoặc x=0 hoặc x=2 hoặc x= -18/7
Kết hợp điều kiện ta có : \(x=0\text{ hoặc }x=2\)
d. Điều kiện \(x\ge3\) ta có :
\(\sqrt{x^2+2x-15}=\sqrt{x-3}+\sqrt{x^2-3x}\Leftrightarrow x^2+2x-15=x^2-2x-3+2\sqrt{x-3}\sqrt{x^2-3x}\)
\(\Leftrightarrow2x-6=\sqrt{x-3}.\sqrt{x^2-3x}\Leftrightarrow4\left(x-3\right)^2=\left(x-3\right)\left(x^2-3x\right)\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=3\\x=4\end{cases}}\)
Lời giải:
Bài 1:
\((x+\sqrt{x^2+2016})(y+\sqrt{y^2+2016})=2016(\star)\)
\(\Leftrightarrow (x+\sqrt{x^2+2016})(x-\sqrt{x^2+2016})(y+\sqrt{y^2+2016})=2016(x-\sqrt{x^2+2016})\)
\(\Leftrightarrow -2016(y+\sqrt{y^2+2016})=2016(x-\sqrt{x^2+2016})\)
\(\Leftrightarrow y+\sqrt{y^2+2016}=\sqrt{x^2+2016}-x(1)\)
Tương tự nhưng nhân \(y-\sqrt{y^2+2016}\) vào PT \((\star)\)
\(\Rightarrow x+\sqrt{x^2+2016}=\sqrt{y^2+2016}-y(2)\)
Từ \((1),(2)\Rightarrow x=-y\)
\(\Rightarrow (x+\sqrt{x^2+2016})(\sqrt{x^2+2016}-x)=2016\Leftrightarrow 2016=2016\) ( luôn đúng)
Vậy PT có nghiệm \((x,y)=(x,-x)\) với \(x\in\mathbb{R}\)
Bài 2:
Do \((3x^2-2)^2,y^4,y^2\geq 0\) với mọi \(x,y\in\mathbb{R}\) nên:
Ta có \(M=9x^4+7y^4-12x^2+4y^2+5=(3x^2-2)^2+7y^4+4y^2+1\geq 1\)
Vậy \(M_{\min}=1\Leftrightarrow (x,y)=\left(\pm\sqrt{\frac{2}{3}},0\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 2 số thực không âm ta có:
\(\frac{x^2}{y-1}+4\left(y-1\right)\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y-1}\times4\left(y-1\right)}=4x\) (1)
\(\frac{y^2}{x-1}+4\left(x-1\right)\ge2\sqrt{\frac{y^2}{x-1}\times4\left(x-1\right)}=4y\) (2)
Cộng (1) và (2) vế theo vế , ta được:
\(P+4y-4+4x-4\ge4x+4y\)
\(\Rightarrow P\ge8\)
Dấu "\(=\)" xảy ra khi : \(x=y=2\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của P=\(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\) là 8 khi \(x=y=2\)
Cần chứng minh \(P=\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge8\) thật vậy:
Đặt \(\left\{\begin{matrix}x-1=a\\y-1=b\end{matrix}\right.\)\(\left(a,b>0\right)\) ta có bđt cần cm tương đương:
\(\Leftrightarrow\left(a^2+2a+1\right)a+\left(b^2+2b+1\right)b\ge8ab\)
\(\Leftrightarrow\)\(a^3+2a^2+a+b^3+2b^2+b\ge8ab\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(2a^2+2b^2\ge2\sqrt{2a^2\cdot2b^2}=4ab\)
\(a^3+b^3+a+b\ge4\sqrt[4]{a^4b^4}=4ab\)
Cộng theo vế ta có đpcm
Vậy GTNN của BT là 8