Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(b^4+c^4+a=b^4+c^4+a.abc\)
+Chứng mih \(b^4+c^4\ge bc\left(b^2+c^2\right)\text{ (1)}\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\frac{1}{2}.\left(b-c\right)^2\left[b^2+c^2+\left(b+c\right)^2\right]\ge0\)(đúng)
\(\Rightarrow b^4+c^4+a\ge bc\left(b^2+c^2\right)+a^2bc=bc\left(a^2+b^2+c^2\right)=\frac{1}{a}\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b^4+c^4+a}\le\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}\)
Tương tự và cộng lại ta sẽ có kết quả.
Ta cm 1 bđt sau:\(a^4+b^4\ge ab\left(a^2+b^2\right)\).Thật vậy:
\(a^4+b^4\ge ab\left(a^2+b^2\right)\Leftrightarrow a^4+b^4-a^3b-ab^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)Áp dụng: \(T=\frac{a}{b^4+c^4+a}+\frac{c}{a^4+b^4+c}+\frac{b}{c^4+a^4+b}\)
\(T\le\frac{a}{bc\left(b^2+c^2\right)+a}+\frac{c}{ab\left(a^2+b^2\right)+c}+\frac{b}{ac\left(a^2+c^2\right)+b}\)
\(=\frac{a^2}{abc\left(b^2+c^2\right)+a^2}+\frac{c^2}{abc\left(a^2+b^2\right)+c^2}+\frac{b^2}{abc\left(a^2+c^2\right)+b^2}\)
Do abc=1 \(\Rightarrow T\le\frac{a^2+b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}=1."="\Leftrightarrow a=b=c=1\)
\(b^4+c^4\ge bc\left(b^2+c^2\right)\)vì \(\left(b-c\right)^2\left(b^2+bc+c^2\right)\ge0\)
\(\Rightarrow T\le\frac{a}{\frac{b^2+c^2}{a}+a}+\frac{b}{\frac{a^2+c^2}{b}+b}+\frac{c}{\frac{a^2+b^2}{c}+c}=1\)
Ta chứng minh được
\(a^4+b^4\ge ab\left(a^2+b^2\right)\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Rightarrow P\le\sum\frac{ab}{ab\left(a^2+b^2\right)+ab}=\sum\frac{1}{a^2+b^2+1}\)
Đặt \(\left(a^2;b^2;c^2\right)=\left(x^3;y^3;z^3\right)\Rightarrow xyz=1\)
Ta lại chứng minh được:
\(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\)
\(\Rightarrow P\le\sum\frac{1}{x^3+y^3+1}\le\sum\frac{xyz}{xy\left(x+y\right)+xyz}=\sum\frac{z}{x+y+z}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Đây là bài thi vào 10 của Thanh Hóa thì phải
chuyển mỗi biểu thức trong cân về cùng bậc 2 ta có:
\(a+\frac{\left(b-c\right)^2}{4}=a\left(a+b+c\right)+\frac{\left(b-c\right)^2}{4}=a^2+a\left(b+c\right)+\frac{\left(b+c\right)^2-4ab}{4}\)
\(=\left(a+\frac{b+c}{2}\right)^2-bc\le\left(a+\frac{b+c}{2}\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{a+\frac{\left(b-c\right)^2}{2}}\le a+\frac{b+c}{2}\)
tương tự ta có: \(\hept{\begin{cases}\sqrt{b+\frac{\left(c-a\right)^2}{4}}\le b+\frac{c+a}{2}\\\sqrt{c+\frac{\left(a-b\right)^2}{4}}\le c+\frac{a+b}{2}\end{cases}}\)
cộng theo vế của bđt trên ta được
\(P=\sqrt{a+\frac{\left(b-c\right)^2}{4}}+\sqrt{b+\frac{\left(c-a\right)^2}{4}}+\sqrt{c+\frac{\left(a-b\right)^2}{4}}\le2\left(a+b+c\right)=2\)
Vậy GTLN của P=2 đạt được khi a=b=0;c=1 và các hoán vị
Ta có :
2.C = \(2.x+2.y+\frac{4}{x}=\left(x+2.y\right)+\left(x+\frac{4}{x}\right)\ge8+2\sqrt{x.\frac{4}{x}}=12\)
=> \(C\ge12\)
Dấu " = " <=> \(\hept{\begin{cases}x=2\\y=3\end{cases}}\)
Đang lướt câu hỏi của bạn thì thấy câu này hay tiện tay làm luôn :D
\(b^4+c^4=\frac{3b^4+c^4}{4}+\frac{3c^4+b^4}{4}\ge\frac{4\sqrt[4]{\left(b^4\right)^3\cdot c^4}}{4}+\frac{4\sqrt[4]{\left(c^4\right)^3b^4}}{4}=b^3c+c^3b\)
\(=bc\left(b^2+c^2\right)=\frac{1}{a}\left(b^2+c^2\right)=\frac{b^2+c^2}{a}\)
\(\Rightarrow a+b^4+c^4\ge a+\frac{b^2+c^2}{a}=\frac{a^2+b^2+c^2}{a}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b^4+c^4+a}\le\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}\)
Thiết lập các BĐT tương tự,khi đó:
\(A\le\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{a^2+b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}=1\)
Dấu "=" xảy ra tại a=b=c=1