Question

[Trần Thị Thúy Thanh]

1. Cho p là số nguyên tố lớn hơn 7.CMR:3^p - 2^p - 1 chia hết 42p

Answer 1

[Lãnh Hạ Thiên Băng]

 Đặt A = 3^p -2^p -1 
Vì 42p=2.3.7.p mà p là SNT > 7 nên ta cần CM A chia hết cho 2,3,7,p 

Dễ thấy A chia hết cho 2 vì 3^p lẻ còn 2^p chẵn 

p lẻ nên 2^p=2^(2k+1)=(2^2)^k.2 ≡ 2 (mod 3) ⇒ A ≡ 0-2-1 ≡ 0 (mod 3) 

p không chia hết cho 3 nên p=3k+1 hoặc p=3k+2 
    Nếu p=3k+1: Vì p lẻ nên k chẵn ⇒ p=6m+1 ⇒ 3^p=3^(6m+1)=(3^6)^m.3 ≡ 3 (mod 7) còn 2^p=2^(3k+1) ≡ 2 (mod 7) ⇒ A ≡ 3-2-1 ≡ 0 (mod 7) 
    Nếu p=3k+2: Vì p lẻ nên k lẻ ⇒ p=6m+5 ⇒ 3^p=3^(6m+5) ≡ 3^5 ≡ 5 (mod 7) còn 2^p=2^(3k+2) ≡ 4 (mod 7) ⇒ A ≡ 5-4-1 ≡ 0 (mod 7) 
Tóm lại A chia hết cho 7 

Áp dụng định lý Fermat nhỏ ta có: 
3^p ≡ 3 (mod p) 
2^p ≡ 2 (mod p) 
⇒ A ≡ 3-2-1 ≡ 0 (mod p) 

=> đpcm

Answer 2

[Võ Nguyễn Bảo Huy]

CMR là chứng minh rồi . Mà chứng minh rồi thì làm chi nữa cho nó mệt.