Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
điều kiện xác định : \(x>0;x\ne4\)
a) ta có : \(P=\left(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{4\sqrt{x}-3}{2\sqrt{x}-x}\right):\left(\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}-\dfrac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}-2}\right)\)
\(\Leftrightarrow P=\left(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}-\dfrac{4\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\right):\left(\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}-\dfrac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}-2}\right)\) \(\Leftrightarrow P=\left(\dfrac{x-4\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\right):\left(\dfrac{\left(\sqrt{x}-2\right)^2-\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-4\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\right)\) \(\Leftrightarrow P=\left(\dfrac{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\right):\left(\dfrac{4}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\right)\) \(\Leftrightarrow P=\left(\dfrac{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\right)\left(\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}{4}\right)\) \(\Leftrightarrow P=\dfrac{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{4}\)b) để \(P>0\) \(\Leftrightarrow\dfrac{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{4}>0\) \(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)>0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}-3>0\\\sqrt{x}-1>0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}-3< 0\\\sqrt{x}-1< 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x>9\\x>1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x< 9\\x< 1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x>9\\x< 1\end{matrix}\right.\)
kết hợp với điều kiện xác định ta có : \(0< x< 1\) hoặc \(x>9\)
c) ta có : \(\sqrt{P}=\sqrt{\dfrac{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{4}}\ge0\forall x\)
dấu "=" xảy ra khi \(\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}-3=0\\\sqrt{x}-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=9\\x=1\end{matrix}\right.\)
vậy ....................................................................................................
d) ta có : \(m\left(\sqrt{x}-3\right)P=12m\sqrt{x}-4\)
\(\Leftrightarrow m\left(\sqrt{x}-3\right)\dfrac{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{4}=12m\sqrt{x}-4\)
\(\Leftrightarrow m\left(x-6\sqrt{x}+9\right)\left(\sqrt{x}-1\right)=48m\sqrt{x}-4\)
nhân tung ra giải bình thường ............(mk nghỉ có vấn đề ở câu d này nha )
\(P=\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}+\frac{4\sqrt{x}-3}{2\sqrt{x}-x}\right):\)\(\left(\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}-2}\right)\)
\(=\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}-\frac{4\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\right)\)\(:\left(\frac{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)-\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-4\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\right)\)
\(=\frac{x-4\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}:\frac{x-4-x+4\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}.\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}{4\left(\sqrt{x}-1\right)}\)
\(=\frac{\sqrt{x}-3}{4}\)
\(b,\)Để \(P>0\Rightarrow\frac{\sqrt{x}-3}{4}>0\)
Mà \(4>0\Rightarrow\sqrt{x}-3>0\Rightarrow\sqrt{x}>3\Rightarrow x>9\)
\(c,\sqrt{P}_{min}=0\Rightarrow\frac{\sqrt{x}-3}{4}=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}-3=0\Rightarrow\sqrt{x}=3\Rightarrow x=9\)
a) R=\(R=\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}-\frac{4}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{x}+2}+\frac{4}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\right)\)
\(R=\left(\frac{\sqrt{x}\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\right)\left(\frac{\sqrt{x}-2+4}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\right)\)
\(R=\left(\frac{x-4}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\right)\left(\frac{\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\right)\)
\(R=\left(\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{x}-2}\right)\)
\(R=\left(\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{x}-2}\right)\)
\(R=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\)
c
\(\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}>0\)
\(co:x>o\inĐKXĐ\leftrightarrow\sqrt{x}>0\leftrightarrow\sqrt{x}+2>0\)với mọi x thuộc ĐKXĐ
\(\rightarrow\)Tử thức luôn dương với mọi x thuộc ĐKXĐ
Xét mẫu thức ta có :
\(\sqrt{x}-2>0\) (vì \(\sqrt{x}>0\) với mọi x thuộc ĐKXĐ)
\(\leftrightarrow\sqrt{x}=2\)\(\leftrightarrow x>4\)(tm đkxđ)
Vậy..............
Phần 3:
Ta đã rút gọn được \(P=\frac{4x}{\sqrt{x}-3}\)
Ta có: \(m(\sqrt{x}-3)P> x+1\) với mọi \(x>4\)
\(\Leftrightarrow m(\sqrt{x}-3).\frac{4x}{\sqrt{x}-3}> x+1\) với mọi \(x>4\)
\(\Leftrightarrow 4mx> x+1\) với mọi \(x>4\)
\(\Leftrightarrow m> \frac{x+1}{4x}\) với mọi \(x>4\)
Điều này xảy ra khi mà \(m> max \left(\frac{x+1}{4x}\right)\)
Ta có: \(\frac{x+1}{4x}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4x}<\frac{1}{4}+\frac{1}{4.4}\Leftrightarrow \frac{x+1}{4x}< \frac{5}{16}\) (do \(x>4\) )
\(\Rightarrow max\left(\frac{x+1}{4x}\right)< \frac{5}{16}\)
Do đó \(m\geq \frac{5}{16}\) thỏa mãn điều kiện đã cho.
Lời giải:
a. ĐKXĐ: $x>0; x\neq 4$
\(M=\frac{x}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}-\frac{4\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}=\frac{x-(4\sqrt{x}-4)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}=\frac{x-4\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}=\frac{(\sqrt{x}-2)^2}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}\)
b.
\(x=3+2\sqrt{2}=(\sqrt{2}+1)^2\Rightarrow \sqrt{x}=\sqrt{2}+1\)
\(M=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{2}+1-2}{\sqrt{2}+1}=3-2\sqrt{2}\)
c.
$M>0\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}>0$
$\Leftrightarrow \sqrt{x}-2>0$
$\Leftrightarrow \sqrt{x}>2\Leftrightarrow x>4$
Kết hợp đkxđ suy ra $x>4$