Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\left\{{}\begin{matrix}3x^2+xz-yz+y^2=2\left(1\right)\\y^2+xy-yz+z^2=0\left(2\right)\\x^2-xy-xz-z^2=2\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
Lấy (2) cộng (3) ta được
\(x^2+y^2-yz-zx=2\) (4)
Lấy (1) - (4) ta được
\(2x\left(x+z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-z\end{matrix}\right.\)
Xét 2 TH rồi thay vào tìm được y và z
1. \(\left\{{}\begin{matrix}6xy=5\left(x+y\right)\\3yz=2\left(y+z\right)\\7zx=10\left(z+x\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{6}{5}\\\dfrac{y+z}{yz}=\dfrac{3}{2}\\\dfrac{z+x}{zx}=\dfrac{7}{10}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{6}{5}\\\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{3}{2}\\\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{7}{10}\end{matrix}\right.\)
Đến đây thì dễ rồi nhé
1 + y2 = xy + yz + xz + y2 = (x + y)(y + z)
1 + z2 = xy + yz + xz + z2 = (x + z)(z + y)
1 + x2 = xy + yz + xz + x2 = (y + x)(x + z)
Sau khi thay vào và rút gọn ta được
S = x(y + z) + y(x + z) + z(x + y)
S = 2(xy + yz + xz) = 2.1 = 2
Lời giải:
Ta có: \(\left\{\begin{matrix} x^2-|x|=|yz|\\ y^2-|y|=|xz|\end{matrix}\right.\Rightarrow x^2-y^2-(|x|-|y|)=|yz|-|zx|\)
\(\Leftrightarrow (|x|-|y|)(|x|+|y|)-(|x|-|y|)=|z|(|y|-|x|)\)
\(\Leftrightarrow (|x|-|y|)(|x|+|y|-1+|z|)=0\)
Từ đây xét các TH:
TH1: \(|x|-|y|=0\Leftrightarrow |x|=|y|\)
Thay vào pt đầu tiên: \(x^2-|x|=|yz|=|xz|\)
\(\Leftrightarrow |x|(|x|-1-|z|)=0\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} |x|=0\\ |x|-1-|z|=0\end{matrix}\right.\)
+) Với \(|x|=0\Rightarrow x=0\rightarrow y=0\).
Thay vào PT(3): \(z^2-|z|=0\Leftrightarrow z=0; z=\pm 1\)
+) Với \(|x|-1-|z|=0\Leftrightarrow |y|=|x|=|z|+1\)
Thay vào PT(3): \(z^2-|z|=(|z|+1)^2=z^2+1+2|z|\)
\(\Leftrightarrow 1+3|z|=0\) (vô lý)
TH2: \(|x|+|y|+|z|=1\)
\(\Rightarrow |x|-1=-(|y|+|z|)\leq 0\)
Khi đó xét PT(1): \(|yz|=x^2-|x|=|x|(|x|-1)\) ta thấy:
VP luôn nhỏ hơn hoặc bằng $0$
Mà vế trái luôn lớn hơn hoặc bằng $0$. Do đó để hai vế bằng nhau thì:
\(|yz|=|x|(|x|-1)=0\). Kết hợp với \(|x|+|y|+|z|=1\)
Từ đây ta dễ dàng thu được
\((x,y,z)=(0,0,\pm 1), (\pm 1, 0,0), (0,\pm 1, 0)\)