Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\sqrt{xy+2x+2y+4}+\sqrt{\left(2x+2\right)y}< =5\)
\(< =>\sqrt{\left(x+2\right)\left(y+2\right)}+\sqrt{\left(2x+2\right)y}< =5\)
\(< =>\sqrt{\left(x+2\right)\left(y+2\right)}+\sqrt{2y\left(x+1\right)}< =5\)
Áp dụng bất đẳng thức cauchy ta được :
\(\sqrt{\left(x+2\right)\left(y+2\right)}+\sqrt{2y\left(x+1\right)}< =\frac{x+y+4}{2}+\frac{2y+x+1}{2}\)
\(=\frac{2x+3y+5}{2}=\frac{10}{2}=5\)
\(=>\sqrt{\left(x+2\right)\left(y+2\right)}+\sqrt{2y\left(x+1\right)}< =5\)
Vậy ta có điều cần phải chứng minh
cho các số thực dương x,y thỏa 2x+3y=5. Cmr
\(\sqrt{xy+2x+2y+4}\) + \(\sqrt{\left(2x+2\right)y}\)<= 5
Sử dụng bất đẳng thức AM - GM cho 2 số ta có được:
\(\sqrt{xy+2x+2y+4}=\sqrt{\left(x+2\right)\left(y+2\right)}\le\frac{x+2+y+2}{2}\)
\(\sqrt{\left(2x+2\right)y}=\sqrt{\left(x+1\right)\cdot2y}\le\frac{x+1+2y}{2}\)
Khi đó:
\(LHS\le\frac{x+2+y+2}{2}+\frac{x+1+2y}{2}=\frac{2x+3y+5}{2}=\frac{10}{2}=5\)
Đẳng thức xảy ra tại x=y=1
Bài 3 \(\hept{\begin{cases}x+y+xy=2+3\sqrt{2}\\x^2+y^2=6\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}\left(x+y\right)+xy=2+3\sqrt{2}\\\left(x+y\right)^2-2xy=6\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}S+P=2+3\sqrt{2}\left(1\right)\\S^2-2P=6\left(2\right)\end{cases}}\)
Từ (1)\(\Rightarrow P=2+3\sqrt{2}-S\)Thế P vào (2) rồi giải tiếp nhé. Mình lười lắm ^.^
Vì \(x+y+z=2\)
Ta có \(\sqrt{2x+yz}=\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}=\sqrt{\left(x^2+xy\right)+\left(xz+yz\right)}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\)
\(\le\frac{x+y+x+z}{2}=\frac{2x+y+z}{2}\)
Tương tự \(\sqrt{2y+zx}\le\frac{x+2y+z}{2}\) và \(\sqrt{2z+xy}\le\frac{x+y+2z}{2}\)
Do đó \(P\le\frac{2x+y+z}{2}+\frac{x+2y+z}{2}+\frac{x+y+2z}{2}=\frac{4\left(x+y+z\right)}{2}=\frac{4.2}{2}=4\)
Vậy \(P\le4\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x+y=x+z\\y+x=y+z\\z+x=z+y\end{cases}}\) và x+y+z=2 \(\Leftrightarrow\) \(x=y=z=\frac{2}{3}\)
cho x,y thuoc R thoa man 3x+y =5
chung minh :\(\sqrt{2x+3y+4+xy}\)+\(\sqrt{\left(2x+2\right)y}\) ≤ 5
Ai phát hiện sai đề thì sửa và làm giúp mk hộ với, cảm ơn :) (chỉ cần làm tóm tắt thôi)