Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GE} + \overrightarrow {EA} } \right) + \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GE} + \overrightarrow {EB} } \right)\\ + \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GF} + \overrightarrow {FC} } \right) + \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GF} + \overrightarrow {FD} } \right)\end{array}\)
\( = \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {MG} \overrightarrow { + MG} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {GE} + \overrightarrow {GF} } \right) \\+ \left( {\overrightarrow {EA} + \overrightarrow {EB} } \right) + \left( {\overrightarrow {FC} + \overrightarrow {FD} } \right)\)
\( = 4\overrightarrow {MG} + 2.\overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 = 4\overrightarrow {MG} \) (đpcm)
Tham khảo:
a) Ta có: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} + \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow 0 \)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 4\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \end{array}\)
Trên cạnh AB, AC lấy điểm D, E sao cho \(AD = \frac{1}{4}AB;\;\,AE = \frac{1}{2}AC\)
Khi đó \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AE} \) hay M là đỉnh thứ tư của hình bình hành AEMD.
b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + 2\overrightarrow {OC} = 4\overrightarrow {OM} \)
Với mọi điểm O, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MA} ;\;\\\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MB} ;\;\,\\\overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MC} \end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + 2\overrightarrow {OC} = \left( {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MA} } \right) + \left( {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MB} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MC} } \right)\\ = 4\overrightarrow {OM} + \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} } \right) = 4\overrightarrow {OM} + \overrightarrow 0 = 4\overrightarrow {OM} .\end{array}\)
Vậy với mọi điểm O, ta có \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + 2\overrightarrow {OC} = 4\overrightarrow {OM} \).
Tham khảo cách 2 câu a:
Cách 2:
Ta có: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {CA} } \right) + \left( {\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {CB} } \right) + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 4.\overrightarrow {CM} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} \end{array}\)
Gọi D là đỉnh thứ tư của hình bình hành ACBD.
Khi đó: \(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} \)\( \Rightarrow 4.\overrightarrow {CM} = \overrightarrow {CD} \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {CM} = \frac{1}{4}\overrightarrow {CD} \Leftrightarrow \overrightarrow {CM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {CO} \)
Với O là tâm hình bình hành ACBD, cũng là trung điểm đoạn AB.
Vậy M là trung điểm của trung tuyến kẻ từ C của tam giác ABC.
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{MA}\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)=\overrightarrow{0}\)
=>vecto MA=0 hoặc M là trọng tâm của ΔABC
=>M là trọng tâm của ΔABC hoặc M trùng với A
\(\overrightarrow{u}=3\overrightarrow{MA}-5\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=3\left(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\right)+2\left(\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MB}\right)\)
\(=3\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BM}\right)+2\left(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{BM}\right)=3\overrightarrow{BA}+2\overrightarrow{BC}\) (không phụ thuộc vào vị trí điểm M).
Có vẻ không đúng.
Giả sử \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{MB}+\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}\right)=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow2\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow M\equiv B\) (Vô lí)