Question

[Quang Huy Điền]

Giải pt : \(\sqrt[3]{81x-8}=x^3-2x^2+\frac{4}{3}x-2\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:
PT $\Leftrightarrow 27\sqrt[3]{81x-8}=27x^3-54x^2+36x-54$

$\Leftrightarrow 27\sqrt[3]{81x-8}=(3x-2)^3-46$

Đặt $\sqrt[3]{81x-8}=a; 3x-2=b$. Khi đó:

\(\left\{\begin{matrix} a^3-27b=46\\ 27a=b^3-46\end{matrix}\right.\) $\Rightarrow 27a=b^3-(a^3-27b)$

$\Leftrightarrow a^3-b^3+27a-27b=0$

$\Leftrightarrow (a-b)(a^2+ab+b^2+27)=0$

Dễ thấy $a^2+ab+b^2+27>0$ với mọi $a,b\in\mathbb{R}$

Do đó $a-b=0\Rightarrow a=b$

$\Leftrightarrow 81x-8=(3x-2)^3$

$\Leftrightarrow 27x^3-54x^2-45x=0$

$\Rightarrow x=0; x=\frac{3\pm 2\sqrt{6}}{3}$

Vậy.......

Answer 2

[Nguyễn Thành Trương]

\(\sqrt[3]{{81x - 8}} = {x^3} - 2{x^2} + \dfrac{4}{3}x - 2\left( 1 \right)\)

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow 27{x^3} - 54{x^2} + 36x - 54 = 27\sqrt[3]{{81x - 8}} \)

Đặt \(y=\sqrt[3]{81x-8}\Leftrightarrow y^3=81x-8\)

Vậy ta có hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}27x^3-54x^2+36x-54=27y\\81x-8=y^3\end{matrix}\right.\Rightarrow\left(3x-2\right)^3+27\left(3x-2\right)=y^3+y\left(2\right)\)

Xét hàm số \(f(t)=t^3+t(t \in \mathbb{R})\)

Đạo hàm \(f'\left(t\right)=3t^2+1>0;\forall t\in\) \(\mathbb{R}\)

Vậy hàm số trên đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow f\left(3x-2\right)=f\left(y\right)\\ \Leftrightarrow3x-2=y\\ \Leftrightarrow3x-2=\sqrt[3]{81x-8}\\ \Leftrightarrow27x^3-54x^2-45x=0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = \dfrac{{3 \pm 2\sqrt 6 }}{3} \end{array} \right.\)

Vậy phương trình có tập nghiệm: \(T = \left\{ {0;\dfrac{{3 \pm 2\sqrt 6 }}{3}} \right\}\)