Question

[Hoàng Linh Chi]

Giải phương tình nghiệm nguyên sau bằng phương pháp sử dụng điều kiện \(\Delta\)là số chính phương:

a) \(x^2+2y^2+3xy-x-y+3=0\)

b) \(x^2+2y^2-2xy+4x-3y=26\)

c) \(3x^2+4y^2+12x+3y+5=0\)

d) \(x+y+xy=x^2+y^2\)

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Cách làm đều giống nhau, mình làm câu a, các câu còn lại bạn tự giải tương tự:

\(x^2+\left(3y-1\right)x+2y^2-y+3=0\) (1)

Coi đây là pt bậc 2 theo ẩn x với y là tham số

\(\Delta=\left(3y-1\right)^2-4\left(2y^2-y+3\right)=\left(y-1\right)^2-12\)

Để pt có nghiệm nguyên \(\Rightarrow\Delta=k^2\Rightarrow\left(y-1\right)^2-12=k^2\)

\(\Leftrightarrow\left(y-1\right)^2-k^2=12\Leftrightarrow\left(y-1-k\right)\left(y-1+k\right)=12\)

Đến đây giải pt nguyên như bình thường, nhưng 12 có rất nhiều ước nguyên (có 2.(2+1)(1+1)=12 ước nguyên) nên ta thêm bước nhận xét do \(\left(y-1-k\right)+\left(y-1-k\right)=2\left(y-1\right)\) chẵn nên luôn cùng tính chẵn lẻ, vậy ta chỉ cần xét các trường hợp \(\left(2;6\right);\left(-2;-6\right);\left(6;2\right);\left(-6;-2\right)\)

Ví dụ 1 trường hợp, bạn tự làm 3 trường hợp còn lại:

\(\left\{{}\begin{matrix}y-1-k=2\\y-1+k=6\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=5\\k=2\end{matrix}\right.\)

Thế \(y=5\) vào (1): \(x^2+14x+48=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-6\\x=-8\end{matrix}\right.\)